АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Примеры нахождения спектральных плотностей некоторых сигналов

Читайте также:
  1. Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя
  2. Алгоритм нахождения глобального экстремума функции
  3. Алгоритм нахождения обратной матрицы
  4. Алгоритм нахождения числа по модулю.
  5. БУДУЩЕЕ – ВЫ СТРЕМИТЕСЬ ВЕРНУТЬ К ЖИЗНИ ОСТАНКИ ПРОШЛЫХ ЗАСЛУГ И ЗАСТАВИТЬ ИХ РАБОТАТЬ НА БЛАГО НАСТОЯЩЕГО. В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ ЭТО МОЖЕТ ПОМОЧЬ.
  6. В Трудовом кодексе найдите примеры (не менее 10), иллюстрирующие реализацию принципов трудового права. Подберите решения Конституционного суда РФ, основанные на этих принципах.
  7. Воздействие некоторых положений учетной политики на финансовое положение организации
  8. Газетная статья авторства Фредрика Страге / «DN pa stan» и истории некоторых из друзей Дэвида
  9. Генератор импульсных сигналов Г5-54
  10. ГЛАВА VI. ЛЕЧЕБНАЯ ФИЗКУЛЬТУРА ПРИ НЕКОТОРЫХ ЗАБОЛЕВАНИЯХ СИСТЕМЫ КРОВИ
  11. Д) Примеры. Счет и речь в сновидении.
  12. Дискретизация сигналов.

 

1. Прямоугольный видеоимпульс (рис.11а):

Спектральная плотность импульса в соответствии с (2.1):

(2.18)

где

На рис. 11б действительная спектральная плотность представлена одним графиком

Рис. 11

По аналогии с примером 1 в п.1.3 постройте самостоятельно амплитудно-частотный и фазо-частотный спектры прямоугольного видеоимпульса для различных значений .

2. Экспоненциальный видеоимпульс: s (t)= Ae-at 1(t),

где a>0, единичная функция 1(t) определяется соотношением:

Рис.12

Спектральная плотность

(2.19)

Из (2.19) следуют соотношения для АЧХ и ФЧХ:

которые представлены графически на рис. 13а и б.

Рис.13

3. Колоколообразный (гауссовский) импульс (рис.14а):

Спектральная плотность

где использовано соотношение:

Спектральная плотность колоколообразного импульса также имеет колоколообразную форму (рис.14б).

2Öb
б)

Рис.14

 

 

4. Единичный импульс (дельта-функция).

Функция d(t) равна нулю везде за исключением точки t =0, где она имеет бесконечно большое значение, при этом площадь импульса равна 1.

Итак,

Графически d(t) будем отображать линией со стрелкой, длина которой равна единице – площади импульса (рис. 15а).

Заметим здесь, что d(t) относится к так называемым обобщенным функциям, т.е. определяется как предел последовательности регулярных функций, например, последовательности прямоугольных (колоколообразных) импульсов с единичной площадью при уменьшении длительности их до нуля. Справедливо соотношение:

(2.20)

известное как фильтрующее свойство единичного импульса. С использованием (2.20) спектральная плотность принимает вид

Рис. 15

Единичный импульс имеет равномерный спектр единичной интенсивности (рис.15б). Из свойства преобразования Фурье (2.6) следует, что

(2.21)

Запишем обратное преобразование Фурье:

.

Итак, справедливо соотношение:

(2.22)

которое иногда считают интегральным определением функции d(t).

Соотношение (2.22) позволяет, в частности, найти спектральную плотность сигнала в виде постоянной величины: s (t)= A.

Имеем

(2.23)

5. Найдем спектральную плотность трапецеидального импульса, представленного на рис. 16а. Для этого воспользуемся свойством преобразования Фурье (2.9), связанным с дифференцированием функции s (t).

Рис.16

Дважды продифференцировав s (t), получим:

 

Поскольку , то с учетом (2.21) имеем

,

откуда следует

. (2.24)

Положив в (2.24) a = 0, b = t/2, получим спектральную плотность треугольного импульса длительностью t в виде:

которая изображена на рис. 17б.

Рис.17

6. Найдем спектральную плотность единичной ступенчатой функции:

Для этого представим 1(t) в форме: ,

где и найдем спектральную плотность сигнум – функции sign (t), не имеющей постоянной составляющей, с помощью операции дифференцирования (рис.18).

Рис.18

Поскольку то, в соответствии с (2.9) и (2.21), имеем

(2.25)

Пользуясь свойством линейности преобразования Фурье и учитывая (2.23) и (2.25), получим искомую спектральную плотность функции 1(t):

(2.26)

Итак, несмотря на неинтегрируемость функции 1(t), ее спектральная плотность (2.26) найдена с использованием дельта-функции.

7. Найдем спектральную плотность периодического сигнала s (t) с периодом Т. Экспоненциальный ряд Фурье (1.7) для s (t):

где W =2p/T, а коэффициенты определяются соотношением (1.8). При этом

(2.27)

Таким образом, спектральная плотность периодического сигнала представлена на оси частот последовательностью дельта-функций, существующих на частотах w=n W(n =0, ±1, ±2, …), интенсивность (площадь) которых равна 2p . Так для периодической последовательности прямоугольных видеоимпульсов (рис. 1), учитывая (1.10), имеем:

. (2.28)

Графическое изображение спектральной плотности (2.28) представлено на рис.19.

Рис.19

Пусть

Тогда очевидно, что

(2.29)

8. Найдем спектральную плотность сигнала s (t), образованного перемножением сигнала x (t) и гармонического колебания:

Пусть спектральная плотность сигнала x (t) известна и равна . Тогда в соответствии с (2.11), находя свертку спектров и (2.29), а также используя (2.20), получим:

(2.30)

Таким образом, соотношение (2.30) показывает, что умножение x (t) на гармоническое колебание с частотой w0 сдвигает спектр на частоты ± w0. Эта операция используется в радиотехнике очень широко и называется преобразованием частоты сигнала. Так, в частности, получают амплитудно-модулированные колебания. На рис. 20 а, б представлен пример сдвига спектра при модуляции.

s(t)=x(t)cos(w0t+j)

Рис.20

9. Найдем спектральную плотность функции xв (t), образованной перемножением сигнала x (t) и периодической с периодом Т последовательности единичных импульсов d T (t):

Таким образом, xв (t) - дискретизованный во времени сигнал (выборка), образованный последовательностью d -импульсов, следующих через интервал времени Т и имеющих интенсивности (площади) равные значениям (отсчетам) x (t) в соответствующие моменты времени.

Пусть . Найдем спектральную плотность периодической функции . В соответствии с (2.27) имеем

где W=2 p/T.

Таким образом,

(2.31)

Для нахождения спектра произведения x (t)d T (t) в соответствии с (2.11) свернем в частотной области спектры и WdW(w):

(2.32)

На рис. 21 а, б, в представлены графики сигналов и соответствующих им спектральных плотностей.

Рис.21

В соответствии с (2.32) спектр дискретизованного во времени сигнала представляет собой периодически повторяющийся (с периодом W=2 p/T) спектр , интенсивность которого уменьшена в Т раз.

При условии W³2 wв, где wв - верхняя частота в спектре , повторяющиеся спектральные полосы, образующие , не перекрываются (рис.21в). Поэтому из можно выделить , например, пропусканием дискретизованного сигнала через идеальный фильтр низких частот и тем самым восстановить x (t) по его выборке xв (t). Это утверждение составляет содержание известной в радиотехнике теоремы В.А.Котельникова (теоремы отсчетов), которая гласит: если наивысшая частота в спектре функции x (t) не превышает величины Fв = wв /2p, то функция x (t) полностью определяется последовательностью своих значений в моменты времени, отстоящие друг от друга не более, чем на T £(1/2 Fв)=(p/ w в) секунд.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.008 сек.)