АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Ортогональные операторы на евклидовой плоскости

Читайте также:
  1. Бинарные (инфиксные) операторы
  2. Вращение плоскости поляризации
  3. Встроенные операторы
  4. Выбор плоскости разъема штампа.
  5. Г л а в а 3. ИЗОБРАЖЕНИЕ ПЛОСКОСТИ В ПЕРСПЕКТИВЕ
  6. ГЛАВА VIII ТРИ «ПЛОСКОСТИ» ВЕДЕНИЯ БОЯ
  7. Если волна падает под углом Брюстера, то почему в отраженном свете преобладает электрическая компонента, перпендикулярная плоскости падения?
  8. Капитальные наружные и внутренние стены, а также перегородки, расположенные в секущей плоскости.
  9. Колебания вектора происходят параллельно плоскости падения
  10. Конформные отображения на комплексной плоскости
  11. Логические операторы
  12. Операторы

Выберем на евклидовой плоскости какой-либо ортонормированный базис . Если А – матрица ортогонального оператора в этом базисе, то она ортогональна. Значит, . Найдем характеристический многочлен матрицы А:

 

.

Рассмотрим сначала случай, когда . Тогда характеристическое уравнение имеет вид . Это уравнение имеет два различных действительных корня. Значит, ортогональный оператор имеет два различных собственных значения: и . В таком случае в существует ортонормированный базис , состоящий из собственных векторов оператора , в котором матрица оператора имеет диагональный вид:

.

Линейный оператор с этой матрицей, как мы знаем, есть не что иное, как оператор симметрии относительно оси, направление которой задается вектором .

Пусть теперь . Определим в этом случае элементы матрицы А, учитывая, что она ортогональная, т. е. что . Пусть

.

Тогда

,

откуда получаем систему для определения элементов матрицы:

(7.24)

Из первых двух уравнений системы (7.24) видно, что можно положить , где и – некоторые углы, причем (так как нам важно знать не сами углы, а значения их синусов и косинусов). Последние два уравнения этой системы определяют соотношения между углами и :

 

.

 

Значит, матрица А выглядит так:

.

Как мы уже знаем, это матрица оператора поворота плоскости на угол вокруг начала координат. В частности, если , то , т. е. получаем тождественный оператор. Если же , то . Этой матрице соответствует оператор симметрии относительно начала координат.

Таким образом, ортогональные операторы на евклидовой плоскости – это тождественный оператор, симметрия относительно начала координат или относительно некоторой оси, либо поворот плоскости вокруг начала координат.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)