АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

IV. Локальная и интегральная теоремы Муавра – Лапласа

Читайте также:
  1. В. Локальная безопасность
  2. ЗАДАНИЕ №3. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. Формула Пуассона. Формула Муавра-Лапласа.
  3. Закон Био-Савара-Лапласа. Поле движущегося заряда.
  4. Интегральная форма
  5. Интегральная формула Лапласа
  6. История теоремы Пифагора.
  7. Лекция №3 Предельные теоремы теории вероятностей
  8. Локальная поверочная схема для нивелиров
  9. Локальная поверочная схема для теодолитов
  10. Методы поиска и выбора решений. Минимаксный критерий. Критерий Байеса – Лапласа. Критерий Севиджа.
  11. Общий случай теоремы 4.1.

 

Определение. Дифференциальной функцией Лапласа называется функция

 

Примечание. Функция j (х) − четная, т. е. j (х) = j (- х).

Определение. Интегральной функцией Лапласа называется функция

 

 

Примечание. Функция Ф (х) − нечетная, т. е. Ф (х) = Ф (- х).

Значения функций Лапласа для положительных значений х табулированы и соответствие таблицы можно найти в любом учебнике, задачнике или справочнике по теории вероятностей, причем, необходимо иметь в виду, что при х ≥ 4 j (х)≈ 0, а при х > 5 Ф (х) ≈ 0,5.

Локальная теорема Лапласа. Если вероятность появления события А в каждый из п независимых испытаний постоянна и равна р (0< p < 1), то вероятность появления этого события ровно k раз приближенно равна

 

 

Интегральная теорема Муавра – Лапласа. Если вероятность появления события А в каждом из п независимых испытаний постоянна и равна р (0 < p < 1), то вероятность Рп (k 1, k 2) появления события А не менее k 1 и не более k 2 раз приближенно находится по формуле

 

где

 

Замечание. Приближенные формулы Муавра – Лапласа применяют практически в том случае, если p и q не малы, а n∙p∙q ≥ 9.

 

Примеры 1. Игральная кость брошена 500 раз. Найти вероятность того, что одно очко выпадет ровно 83 раза.

Решение. Проводятся п = 500 независимых испытаний, в каждом из которых с вероятностью появляется одно очко и с вероятностью не появляется. В данной задаче п∙р > 10, n∙p∙q > 20, поэтому применим локальную теорему Муавра – Лапласа:

 

 

По таблице получаем

j (− 0,04) = j (0,04) = 0,3986,

 

Примеры 2. Производство дает 1% брака. Какова вероятность того, что из взятых на исследование 1100 изделий выбракованных не более 17?

Решение. Из условия задачи имеем, что п = 1100, р = 0,01, q = 0,99, 0 ≤ k ≤ 17. Тогда п∙р∙q > 10. Значит по теореме Муавра – Лапласа получаем

 

 

С помощью таблицы значений интегральной формулы Лапласа находим

 

Ф (х 1) = Ф (- 0,33) = − Ф (3,33) ≈ − 0,4995;

 

Ф (х 2) = Ф (1,82) ≈ 0,4656.

 

Тогда окончательно получаем

Р 100 (0; 17) = 0,4656 – (- 0,4995) = 0,9651.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)