АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Решение систем линейных уравнений

Читайте также:
  1. A) к любой экономической системе
  2. A) прогрессивная система налогообложения.
  3. C) Систематическими
  4. CASE-технология создания информационных систем
  5. ERP и CRM система OpenERP
  6. HMI/SCADA – создание графического интерфейса в SCADА-системе Trace Mode 6 (часть 1).
  7. I СИСТЕМА, ИСТОЧНИКИ, ИСТОРИЧЕСКАЯ ТРАДИЦИЯ РИМСКОГО ПРАВА
  8. I. Основні риси політичної системи України
  9. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ (ТЕРМИНЫ) ЭКОЛОГИИ. ЕЕ СИСТЕМНОСТЬ
  10. I. Решение логических задач средствами алгебры логики
  11. I. Суспільство як соціальна система.
  12. I. Формирование системы военной психологии в России.

Исходный вид системы:

a1 1 x1 +... + a1 i xi +... + a1 p xp = b1

...

a j 1 x1 +... + a j i xi +... + a j p xp = bj

...

a p 1 x1 +... + ap i xi +... + ap p xp = bp

где a i j – коэффициенты системы при неизвестных; bi – свободные члены.

В свернутом виде система описывается следующим выражением:

; , .

В матричном виде система имеет вид

А Х = В,

a1 1... a1 i... a1 p

...

где А = aj 1 ... aj i ... aj p

...

a p 1... a p i... a p p

b1

...

B = bj

...

bp

х1

...

Х = хj

...

хp

 

Требуется найти значения Х, удовлетворяющие всем уравнениям системы.

Методами решения систем линейных уравнений являются: метод подстановок, метод последовательного исключения переменных, метод Крамера (матричный метод). Могут также применяться методы решения систем нелинейных уравнений.

Метод подстановок (последовательного выражения переменной из одного уравнения и подстановки в другое) не удобен для алгоритмизации расчетов при переменном числе переменных.

Метод последовательного исключения переменных достаточно удобен для машинной реализации. При этом методе с помощью преобразований строк текущей системы (выравнивания коэффициентов при первой переменной текущей системы и взаимного вычитания из одного уравнения другого) получается новая система без первой переменной. Таким образом, на каждом этапе таких последовательных преобразований получаем понижение числа переменных (на последнем этапе до одной):

a1 1 x1 +... + a1 i xi +... + a1 p xp = b1

a'2 2 x1 +... + a'2 i xi +... + a'2 p xp =b'2

...

хр = b'р,

где штрихом обозначены значения коэффициентов после преобразований.

Значение свободного члена для уравнения с одной переменной дает решение, например по переменной хрр=b'р), Затем из одного из уравнений системы предпоследнего этапа находится хр-1 и т.д., для 1-го – x2 и из исходной системы – х1. Разновидность – метод Гаусса с выбором главного элемента.

Метод Крамера основан на матричном исчислении и наиболее удобен с точки зрения соста вления алгоритма и его программной реализации на компьютере.

По методу Крамера

X = A-1 B

или

xi = det Ai / det A,

где А -1 – матрица, обратная матрице А;

Ai – матрица, полученная по матрице А с заменой в ней i- го столбца столбцом свободных членов (aji=bj), ;

det – детерминант (определитель) матрицы.

Если det A равен нулю, то система не определена. При малых значениях det A система слабо обусловлена.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)