АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Равномерная сходимость последовательностей и рядов

Читайте также:
  1. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов.
  2. Авторегрессионные модели временных рядов
  3. Анализ вариационных рядов
  4. Анализ взаимосвязи двух временных рядов
  5. Анализ временных рядов
  6. Анализ динамики временных рядов
  7. Арифметика рядов Фибоначчи
  8. Боевое крещение штурмовых отрядов
  9. Взаимодействие зарядов. Закон Кулона. Закон сохранение электрического заряда.
  10. Виды динамических рядов. Сопоставимость данных в изучении динамики
  11. Виды празднично-обрядовой народной художественной культуры
  12. Виды ядерных зарядов

Определение 2.1. Пусть задана последовательность функций (1.1) и функция f, определенная на множестве Е. Будем говорить, что указанная последовательность сходится к функции f равномерно на множестве Е, если для любого существует такой номер , что если , то для всех выполняется неравенство

(2.1)

Последовательность (1.1) называется равномерно сходящейся на множестве Е, если существует функция f, к которой она рав­номерно сходится на Е.

Очевидно, что если последовательность (1.1) равномерно схо­дится к функции f на множестве Е, то она и просто сходится к этой функции на Е.

Если последовательность { } сходится на множестве Е к фун­кции f, то мы будем это символически записывать следующим образом:

на Е

 

 

Если же эта последовательность { } равномерно сходится на Е к функции f, то будем писать на Е равномерно

 

Заметим, что если последовательность (1.1) просто сходится к функции f на множестве Е, то это означает, что для любого и любого существует номер , зависящий как от , так и от х, такой, что для всех номеров имеет место неравенство (2.1).

Сущность равномерной сходимости последовательности функ­ций состоит в том, что для любого можно выбрать такой номер , зависящий только от заданного и не завися­щий от выбора точки , что при неравенство (2.1) будет выполняться всюду на множестве Е, т. е. «графики» функ­ций будут расположены в « -полоске», окружающей график функции f (рис. 1).

Таким образом, в случае равномерной сходимости для любого при всех достаточно больших n (именно при ) значения функций приближают функцию f с погрешностью мень­шей ,сразу на всем множестве Е.

Ряд (2.2)

называется n-м остатком ряда. Он сходится на Е тогда и только тогда, когда на Е сходится сам ряд (2.1). Если в этом случае сумму ряда (2.2) обозначить через , то

s

Как и в случае числовых рядов, согласно определению, каж­дый функциональный ряд является последовательностью своих частичных сумм:

При этом для каждой функциональной последовательности (1.1) существует ряд (2.2), для которого она является после­довательностью его частичных сумм. Члены этого ряда определяются однозначно:

Это обстоятельство дает возможность перефразировать всякую теорему, доказанную для функциональных рядов, в соответству­ющую теорему для функциональных последовательностей, и на­оборот. Мы неоднократно будем использовать это обстоятельство.

 

Теорема 1 (критерий Коши равномерной сходимости последовательностей). Для того чтобы последовательность функций , , определенных на некотором множестве Е, равно­мерно сходилась на этом множестве, необходимо и достаточно, чтобы для любого существовал такой номер , что для всех номеров , всех целых и всех точек выпол­нялось неравенство

(2.3)

 

Часто бывает полезным следующее простое достаточное условие равномерной сходимости функциональных последовательностей.

 

Теорема 2 (признак Вейерштрасса). Пусть задана последовательность { }. Если существует такая числовая последовательность { }, что

(2.4)

и для всех , и всех выполняется неравенство

(2.5)

то последовательность { } равномерно на Е сходится к функции f.

Доказательство. В силу условия (2.4) для любого существовал такой номер , что для всех номеров выполняется неравенство

 

.

Но тогда в силу условия (2.5) для всех и всех выпол­няется неравенство

а это и означает равномерную сходимость последовательности { } к функции на множестве Е.

Для рядов, естественно, также можно ввести понятие равномерной сходимости.

 

Определение 2.2 Ряд

(2.6)

члены которого являются функциями, определенными на множе­стве Е, называется равномерно сходящимся на этом множестве, если последовательность его частичных сумм равномерно сходится на Е.

Таким образом, равномерная сходимость ряда (2.6) означает существование такой функции , что

равномерно на Е (2.7)

Поскольку из (2.7) следует, что на Е, то является суммой ряда (2.6).

 

Положим

Тогда и условие (2.7) можно переписать в эквивалентной форме:

равномерно на Е (2.9)

откуда следует, что, для того чтобы сходящийся на Е ряд (2.6) равномерно сходился на множестве Е, необходимо и достаточно, чтобы

(2.10)

Таким образом, из равномерной сходимости ряда, в частности, вытекает, что, начиная с некоторого номера верхние грани

конечны, а условие (2.10) сводит понятие равномерной сходи­мости ряда к стремлению к нулю числовой последовательности этих верхних граней.

 

Докажем эквивалентность условий (2.9) и (2.10). В самом деле, если имеет место (2.6), то для любого существует такой номер , что для всех номеров и всех точек выпол­нялось неравенство

Отсюда для всех

а это и означает выполнение условия (2.10).

Обратно, если выполнено условие (2.10) для любого существует такой номер , что для всех

а значит, и подавно для всех и

что и означает выполнение условия (2.9). Утверждение доказано.

 

Далее, замечая, что

из теоремы 1 получаем следующий критерий равномерной сходи­мости.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.007 сек.)