АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Довжина дуги кривої. Натуральна параметризація

Читайте также:
  1. Загальні ТМО формування понять про величини, що вивчаються в курсі математики І-ІУ класів (довжина, площа, маса, місткість, час, швидкість, ціна, вартість, тощо).
  2. Нормована частота і довжина хвилі відсічки
  3. Форми суспільного господарства: натуральна, товарна (ринкова). Об’єктивні умови виникнення ринкового господарства

Нехай просторову криву γ дано параметричним рівнянням і . Впишемо в криву ламану.

Рис.14
C
O
Ламана називається правильно вписаною в криву , якщо її вершини на кривій слідують в тому ж порядку (тобто без зворотів), що і їх прообрази на відрізку .

На відрізку візьмемо точки На кривій γ їм відповідають точки Сполучаючи послідовно ці точки, одержимо ламану , вписану в криву .

Розглянемо довжину цієї ламаної. Якщо кількість вершин ламаної збільшується, то її довжина збільшується. Справді, якщо на дузі кривої з кінцями і взято нову вершину C, то сума прямолінійних відрізків і більша довжини прямолінійного відрізка . Тому довжина нової вписаної ламаної більша довжини ламаної .

Крива γ називається спрямною, якщо довжини всіх правильно вписаних в неї ламаних обмежені зверху. Верхня границя довжин усіх таких ламаних називається довжиною кривої і позначається .

Вона існує за теоремою Вейєрштраса.

Теорема 7. Гладка крива є спрямною. Довжина гладкої кривої () дорівнює визначеному інтегралу від модуля похідної : . (11)

В скалярній формі формула (11) має вид:

. (12)

Якщо криву задано рівняннями , то .

Для плоских кривих, розміщених у координатній площині , в цих формулах слід покласти .

Поняття довжини кривої дозволяє визначити на кривій параметр, який найбільш природнім способом пов’язаний з кривою. Таким параметром є довжина дуги. Дійсно, виберемо на кривій точку і який-небудь напрямок на ній. Положення точки B на кривій визначається її відстанню від точки . Приймемо за параметр на кривій довжину s дуги , взяту зі знаком +, якщо дуга має додатній напрямок, і зі знаком –, якщо дуга має від’ємний напрямок.

Якщо до цього на прямій була інша параметризація і точці відповідало значення , а точці B – значення , то довжина обчислюється за формулою:

, а отже , тобто є монотонною функцією від параметра і може бути прийнята за параметр. Цей параметр особливо зручний для вивчення кривої за її рівнянням і називається натуральним параметром кривої. Така параметризація називається натуральною і позначається .

Для натуральної параметризації дотичний вектор кривої є одиничним вектором, тобто . Дійсно: .

Визначна властивість натуральної параметризації:

Якщо – натуральна параметризація, то . Навпаки, якщо для деякого параметра , то – довжина дуги.

 

4.2. Кривина кривої, заданої в натуральній параметризації

Рис.15  
Напрям дотичної змінюється, якщо точка рухається по кривій. Щоб виміряти швидкість цієї зміни, візьмемо на кривій будь-яку точку P і точку Q, близьку до P. Проведемо дотичні в точках P і Q, знайдемо кут між ними і поділимо цей кут на довжину дуги PQ.

Позначимо:

– кут між дотичними до γ в точках P і Q, – довжина дуги PQ кривої γ.

Кривиною кривої γ в точці P називається границя відношення кута повороту дотичної на дузі, що стягується до даної точки, до довжини цієї дуги, тобто .

Q
P
O
Рис. 16
Вимірюючи швидкість зміни напряму дотичної, кривина показує, наскільки крива за своєю формою відхиляється від форми прямої лінії. Чим більша кривина, тим сильніше це відхилення. Очевидно, що для прямої лінії кривина дорівнює нулю в усіх її точках, бо напрямний вектор прямої не змінює свого напряму.

Для кола радіуса R: . Тому незалежно від Q. Отже, кривина кола є сталою і дорівнює , де R – радіус кола.

 

Вектор називається вектором кривини кривої. Його довжина дорівнює кривині кривої, заданої в натуральній параметризації.

 

Теорема 8. Регулярна кривакласу (двічі неперервнодиференційовна) має в кожній точці єдину кривину. Якщо – натуральна параметризація кривої, то кривина дорівнює модулю другої похідної функції : .

Рис.17  
□ Нехай точкам P і Q відповідають значення натурального параметра s і відповідно. Нехай і – одиничні дотичні вектори кривої в цих точках. Вектор перенесемо паралельно так, щоб його початок співпадав з точкою P. Кінці векторів і позначимо M і N. ∆ PMN – рівнобедрений, бо вектори і – одиничні.

, де L – середина відрізка MN.

З прямокутного трикутника PML, де : .

Поділимо обидві частини цієї рівності на і перейдемо до границі при .

Оскільки – двічі неперервно диференційовна крива і , то існує

,

бо при і границя першого множника дорівнює 1 (перша чудова границя). ■

Нехай в даній точці кривина . Розглянемо властивості вектора :

1) (оскільки – одиничний вектор і , отже );

2) належить стичній площині;

3) напрямлений за головною нормаллю і де – одиничний вектор головної нормалі. Останню рівність можна подати у виді:

(перша формула Френе). (13)

 

4.3. Кривина кривої в довільній параметризації

Нехай криву задано векторним рівнянням . Довжина дуги s є функцією параметра : , отже є складеною функцією . Знайдемо другу похідну від по s через похідні по t.

Для зручності домовимося похідні вектор-функції по натуральному параметру s позначати з крапкою (, і т.д.), а похідні по довільному параметру t – зі штрихом (, і т.д.).

; (14)

, звідки . (15)

З (14) маємо: , причому .

Враховуючи, що , одержимо .

Підставимо одержані вирази для , , в (15):

.

Для обчислення кривини знайдемо .

Оскільки – одиничний вектор і його похідна ортогональна , то можна знайти як модуль векторного добутку : .

.

(16)

В скалярній формі маємо:

, де A, B, C – координати вектора , тобто

(16')

Задача. Знайти кривину гвинтової лінії

Розв’язання.

Отже ; ; ;

.

Таким чином, кривина гвинтової лінії є сталою величиною.

Відповідь: .

4.4. Кривина плоскої кривої

З формул (16) і (16') легко одержати формули для обчислення кривини плоскої кривої:

1) : ; . (17)

2) : . (17')

3) : вважаємо що y є функцією від x, диференціюємо дане рівняння по x, звідки і ; далі знаходимо і підставляємо у формулу (17').


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.013 сек.)