|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Лекция № 38
2.3. Однородные уравнения
Определение 1. Функция называется однородной функцией, если выполняется . Например, функция является однородной, так как . Определение 2. Уравнение вида называется однородным уравнением, если однородная функция. Покажем, что решение однородного уравнения сводится к решению уравнения с разделяющимися переменными. По условию . Положим в этом тождестве , тогда и уравнение примет вид . Сделаем замену и . Тогда получим уравнение с разделяющимися переменными или . Интегрируя его, а затем, подставляя , находим решение. Замечание. Аналогично, как и для уравнений с разделяющимися переменными, если , то однородное уравнение обладает решением или . Пример 1. Определить кривую, проходящую через точку , если подкасательная АВ любой её точки есть среднее арифметическое координат. Если - текущая точка у кривой, то по условию задачи, получаем уравнение у Получили однородное урав-
нение, поэтому сделаем замену О А В х и . Тогда уравнение примет вид . Разделяем переменные и интегрируем . Выполнив обратную замену , имеем . Окончательно, учитывая, что кривая проходит через заданную точку и подставляя в общее решение ее координаты находим и получим искомое уравнени кривой . 2.4. Линейные уравнения первого порядка (ЛУ–1)
Определение 3. Уравнение вида , где и непрерывные на функции, называется линейным. Его решение будем искать в виде . (1) Продифференцируем выражение (1), а, затем подставим в ЛУ-1, получим . (2) Функцию выберем из условия . Проинтегрируем это уравнение . Тогда уравнение (2) примет вид . Окончательно, имеем . Пример 2. Найти общее решение уравнения . Решение ищем в виде . Тогда для функции получаем уравнение а для функции - Окончательно, имеем .
2.5. Уравнения Бернулли
Определение 4. Уравнение вида , где , называется уравнением Бернулли. Отметим, что при оно становится линейным, а при - уравнением с разделяющимися переменными. Поэтому в дальнейшем эти случаи не рассматриваем. Покажем, что уравнение Бернулли путём замены , приводится к линейному. Действительно, . Таким образом, уравнения Бернулли интегрируются аналогично как линейные. Пример 3. Найти общее решение уравнения . Разделим данное уравнение на и получим уравнение Бернулли . Здесь . Решение ищем в виде . Тогда . Для функции получаем уравнение , а для функции - Проинтегрируем это уравнение, тогда . Таким образом, общее решение имеет вид .
2.6. Уравнения в полных дифференциалах
Определение 5. Уравнение вида , называется уравнением в полных дифференциалах, если , (3) где частные производные непрерывны в некоторой области. Покажем, что равенство (3) является условием полного дифферен-циала. Теорема. Если полный дифференциал некоторой функции , то выполняется условие (3). Верно и обратное. Пусть выражение является полным дифференциалом. Это означает, что , так как . Продифференцировав первое полученное выражение по у, а второе по х, получим . Обратно. Пусть выполняется условие (3). Требуется найти функцию , которая должна удовлетворять условиям: . Интегрируя первое из них, получим где является фиксированной точкой из области определения функций и , а - произвольная функция. Теперь продифференцируем это выражение: и воспользуемся условием (3) откуда и . Таким образом, функция найдена . (4) Теорема доказана. Возвращаемся к уравнению в полных дифферен-циалах. Если выполняется условие (3), то согласно теореме имеем - общий интеграл. С учётом формулы (4) окончательно определяем общий интеграл уравнения в полных дифференциалах . (5) Пример 4. Решить задачу Коши Проверим выполнение условия (3): , т.е. имеем уравнение в полных дифференциалах. По формуле (5) получаем или . Приведём подобные члены и соберём все константы в одну: . Значение константы С определим из начального условия: . Тогда решение задачи Коши будет иметь вид .
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.01 сек.) |