АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

I Направление выпуклости (вогнутости)

Читайте также:
  1. I. Финансовый менеджмент как научное направление и практическая сфера деятельности
  2. III. Материалистическое направление в русской философии
  3. Атеистическо-материалистическое направление
  4. Атеистическое направление- Альбер Камю ( 1913-1960) и Сартр( 1905-1980)
  5. Библиотека для чтения» О. И. Сенковского. Тип, структура, направление журнала.
  6. БИОЛОГИЧЕСКОЕ НАПРАВЛЕНИЕ
  7. Биологическое направление в трактовке человека
  8. Бихевиористское направление
  9. Векторная величина — скорость, которой определяется как быстрота движения, так и его направление в данный момент времени.
  10. Виды и направление взаимосвязей социально-экономических явлений.
  11. Вопрос 32. Деистическое направление философии французского Просвещения XVIII в.

Пусть функция дифференцируема на интервале . Дифференцируемость означает существование конечной производной, что, в свою очередь, означает наличие у графика функции невертикальной касательной. А для такой прямой есть понятия «выше» и «ниже».

 

Определение 1. Дифференцируемая функция называется выпуклой вниз (вверх) на интервале , если её график лежит не ниже (не выше) любой касательной к графику функции на .

Говорят ещё: «график функции направлен выпуклостью вниз (вверх)». Вместо «выпукла вниз (вверх)» говорят иногда «вогнута вверх (вниз)». Ещё вместо «выпуклая вверх» говорят просто «выпуклая», а вместо «выпуклая вниз» – «вогнутая».

На рисунке слева изображен график функции выпуклой вниз, а справа – вверх.

 

 

Теорема 1 (первое достаточное условие выпуклости). Пусть функция имеет на интервале конечную производную второго порядка. Тогда:

1) если на , то направлена выпуклостью вниз;

2) если на , то направлена выпуклостью вверх.

Доказательство. Обозначим: – ордината точки графика функции с абсциссой ; – ордината точки касательной к графику с той же абсциссой. Если – произвольная точка из , то уравнение касательной к графику в точке с абсциссой имеет вид: . Составим разность ординат: . Существование означает, что существует (и непрерывна) и, следовательно, – непрерывна. Тогда к функции на промежутке применима теорема Лагранжа:

 

Тогда

Функция непрерывная и дифференцируемая, значит, к ней можем приме-нить теорему Лагранжа на промежутке


Итак, для разности ординат точки графика и точки касательной имеем равенство: . Возможны два случая взаимного расположения точек :

В обоих случаях произведение положительно, следовательно, : если , то , т.е. график расположен выше касательной, функция выпукла вниз; если , то , график расположен ниже касательной, функция выпукла вверх. Теорема доказана.

Замечание 1. Доказанная теорема имеет простую геометрическую иллюстрацию. Если функция выпукла вниз, то угловой коэффициент касательной, т.е. возрастает, значит . Для выпуклой вверх функции первая производная убывает, значит, вторая производная отрицательна.

 

Пример 1. Исследовать на выпуклость степенную функцию

Имеем . Если или , то , а если , то . Значит, на луче выпукла вниз при и , и выпукла вверх при . При или имеем линейную функцию или . Такие функции могут считаться как выпуклыми вверх, так и выпуклыми вниз.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)