АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка в частных произвольных

Читайте также:
  1. A) линейные
  2. I I. Тригонометрические уравнения.
  3. I Классификация кривых второго порядка
  4. II ОБЩИЕ НАЧАЛА ПУБЛИЧНО-ПРАВОВОГО ПОРЯДКА
  5. II. САКРАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ: МЕТАФОРА УНИВЕРСАЛЬНОГО ПОРЯДКА
  6. IV.1. Общие начала частной правозащиты и судебного порядка
  7. V2: ДЕ 11 - Векторные пространства. Линейные операции над векторами
  8. V2: ДЕ 4 – Линейные отображения. Линейные операции над матрицами
  9. V2: ДЕ 5 - Линейные отображения. Умножение матриц
  10. V2: ДЕ 53 - Способы решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
  11. V2: ДЕ 54 - Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
  12. V2: ДЕ 57 - Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения

В данной лекции рассмотрим важные классы уравнения с частными произвольными

Именно важно значение в функции, к задачам теплопроводности, диффузии, колебаний струны и уравнения Лапласа

Линейное уравнение 2-го порядка с 2-умя неизвестными переменными называется уравнением вида:

AU xx + BU xy + CU yy+ DU x + EU y + FU = где A, B, C, D, E, F, G = const = G – числа

Например:

U tt= U xx + const - линейное уравнение

U * U tt + u x = 0 - нелинейное уравнение

Все линейные уравнения с частной производной 2-го порядка принадлежит к одному из следует топов:

1) Параболический тип: теплопроводность и диффузия + 4AC =0

2) Гиперболический тип: - 4AC 0

Они описали колебания системы и волнения движений

3) Электрический тип:

Эти уравнения характеризуют условия:

- 4AC 0

Описать установленный процесс

Уравнение теплопроводности

Шаг 1:

L = 2m - степень поверхности - теплопроводности

концы – не теплопроводности

шаг 2:

поместим стержень в устройство е = C можем считать F внутри стержня = C

шаг 3:

вытащим из устройства стержень

= 0

И подсоединим 2 термоэл. к концам

= C =5 C

Температурные профили в различные моменты времени

U1 = U xx

0< x<L 0< t< 8 (10.1)

Метод разделения переменных

Решение уравнения (10.1) с начальными данными

U (x, 0) = 4 (x)

0 1

U (0, t) = 0 U (1,t) = 0 (20.2)

0<t<8

(x, t) = (x) * (t)

И будем подбирать коэффициент так чтобы выполнить начальное условие

U(x, t) = X (x) * T (t)

= = k

С течением времени температура стержня стремится к 0 то есть к 0, имеет вид:

K=-

X’’(x) + x(x)=0

Характеристическое уравнение

+ =0

=

=

x(x) = A sin λ x+ B cos λ x

T(t) = *

(,A,B – произвольный const)

U (x, t) - (A sin λ x + B cos λ x) (10.2a)

A= B =

U (0, t) U (1, t) =0

B * = 0 => B= 0

* A * sin λ =0

Sin λ = 0 => λ= n n

= * sin x

(X,T) = * * sin * x

(x, t) = sin 3 x

(x, t) = sin n x (10.3)

n= 1, 2, m,

Построим решение уравнения (10.1) удовлетворяющее начальному условия:

U (x, 0) = ϕ(x)

U(x, t) = sin n x (10.4)

Для этого мы подбираем коэффициент так, что:

U (x, 0) = ϕ (x)

Подставим t=0 получим :

U(x, t) = sin n p x

– коэффициент при разложенbb функции ϕ (x) в ряд Фурье по sin- сам если функция ϕ(x) разложена в ряд Фурье и нечетна, то коэффициент :

A= 2

И решение запишется в виде (10.4)

(10.4) – громоздка, но это компенсируется ее формативностью.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)