АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Упражнения для самостоятельного решения

Читайте также:
  1. F. Расслабляющие упражнения
  2. FAST (Методика быстрого анализа решения)
  3. I. 2.1. Графический метод решения задачи ЛП
  4. I. СТРОЕВЫЕ УПРАЖНЕНИЯ
  5. I.5.5. Просмотр и анализ результатов решения задачи
  6. II Съезд Советов, его основные решения. Первые шаги новой государственной власти в России (октябрь 1917 - первая половина 1918 гг.)
  7. III этап: Анализ решения задачи
  8. III. Задачи и упражнения
  9. MathCad: способы решения системы уравнений.
  10. V2: ДЕ 53 - Способы решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
  11. АКРОБАТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ
  12. АКРОБАТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ

Для каждого из заданных ЛОДУ с постоянными коэффициентами составьте ФСЧР и запишите общее решение:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

 

Ответы к упражнениям для самостоятельного решения:

1) , , ;

2) , , ;

3) , , ;

4) , , ;

5) , , , .

 

§6. Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения. Принцип суперпозиции частных решений

 

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка:

, где . (1)

Соответствующее ему линейное однородное ДУ имеет вид

(2)
Теорема (об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения)
Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения равно сумме общего решения соответствующего ему однородного уравнения и какого-нибудь частного решения неоднородного уравнения:
, или (3)

 

 

Доказательство

Покажем, что функция удовлетворяет всем требованиям общего решения ЛНДУ (1), то есть:

а) удовлетворяет ДУ;

б) содержит нужное количество произвольных постоянных;

в) с помощью функции можно решить любую задачу Коши.

 

. (3')
Так как – это общее решение ЛОДУ (2), то где - это ФСЧР ДУ (2), - произвольные постоянные. (4)
     

Действительно, так как - это какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения, то оно удовлетворяет ЛНДУ (1), то есть

 

Проверим для функции требования а), б), в):

а) подставим в дифференциальное уравнение (1):

- ДУ (1) удовлетворяется;

 

б) подставим в слагаемое :

и видим, что функция содержит нужные две произвольные постоянные ;

 

в) решим задачу Коши для дифференциального (1), поставив начальные условия:

;

эти начальные условия подставляем в функцию (3) с учётом равенства (4) для :

 

получилась система двух линейных алгебраических уравнений относительно чисел с главным определителем ,

так как и – это линейно независимые частные решения однородного ДУ, поэтому их вронскиан в любой точке ; по теореме Крамера заключаем, что система уравнений относительно имеет единственное решение при любых числах ,

поэтому любая задача Коши для ДУ(1) может быть решена.

Таким образом, функция удовлетворяет всем требованиям общего решения, следовательно, таковым и является, ч.т.п.

 

Пример 1

 

Решить дифференциальное уравнение второго порядка .

 


Решение

Так как уравнение является линейным неоднородным, то его общее решение записывается как сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-нибудь частного решения неоднородного уравнения:

.

Находим , решив соответствующее однородное дифференциальное уравнение:

, где – это ФСЧР;

так как уравнение имеет постоянные коэффициенты, то фундаментальную систему его частных решений находим с помощью характеристического уравнения:

– комплексно сопряженные корни

ФСЧР: .

Универсальным методом для нахождения частного решения линейного неоднородного ДУ является метод вариации произвольных постоянных, который будет рассмотрен далее. В решаемой задаче ограничимся частным решением , найденным подбором:

.

Тогда записываем общее решение данного уравнения:

.

 

Доказанная в этом параграфе теорема справедлива для линейных неоднородных уравнений любого порядка, причем, уравнение не обязано иметь постоянные коэффициенты. Однако отработать на практике эту теорему есть возможность только для ЛНДУ с постоянными коэффициентами, так как только в этом случае вполне понятно, как находить общее решение соответствующего ЛОДУ.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.008 сек.)