Норма и ортогональность присоединенных функций Лежандра
Вычислим и попутно докажем ортогональность полиномов . Умножим уравнение на Так как то
или
.
Сдвинем индекс :
.
Введём обозначение
Интегрируем в правой части последнего выражения по частям, объявив
Иметь будем следующее
В силу соотношения получим, что
см. формулу . Итак, Из этой рекуррентной формулы следует
Действительно
После несложных преобразований получим
Если заменить на то Если заменить на то Продолжая процесс до получим
Отсюда следует, что
И так как , то
Итак, присоединённые функции Лежандра ортогональны и имеют норму
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | Поиск по сайту:
|