|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Присоединенные функции ЛежандраРассмотрим задачу. Найти собственные значения и собственные функции краевой задачи
при граничных условиях . При имеем совпадение с уравнением Лежандра, поэтому считают . Осуществляем замену переменной , Подставляем уравнение в уравнение : . Продифференцируем следующее уравнение
m раз и положим . В результате получим . Так как решением уравнения являются полиномы , то решением уравнения (4) будут функции . Ибо, как было установлено выше, нетривиальное решение уравнения (*) существует лишь при . И отсюда сразу следует, что , есть решение уравнения при , а функции
суть собственные функции краевой задачи - при , . Вывод формулы (4). Исходное уравнение имеет вид . Подставим сюда вместе с ее производными. Для этого вычисляем , или . Далее имеем Дополним слагаемым до равенства нулю. Сокращаем на . Получаем: Или в другом виде Что и требовалось показать. Вывод формулы . Продифференцируем уравнение Лежандра m раз. Уравнение Лежандра имеет вид . Осуществим математическую индукцию. Пусть , т. е. ни разу не дифференцировали, тогда ; : или : или и т. д. При пусть справедлива формула, которая вытекает из предыдущей последовательности операции дифференцирования, . Осуществим переход от , т. е. продифференцируем ещё раз. В итоге получим То есть доказано, что имеет место быть уравнение Если теперь положить то получим формулу . Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.) |