|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Определение 2.6Максимальное число линейно независимых строк матрицы А называют рангом этой матрицы. Ранг матрицы А обозначается rang A или r (A). Ранг матрицы обладает свойствами: · ранг матрицы А равен наивысшему порядку отличных от нуля миноров матрицы; · для матрицы А = (аij) m ´ n 0£ r (A) £ min(m, n), причем r (A) = 0 тогда и только тогда, когда А – нулевая матрица; · для квадратной матрицы А порядка п r (A) = п тогда и только тогда, когда А–невырожденная; · r (A) = r (Aт); · ранг матрицы не изменится, если вычеркнуть из нее или приписать к ней нулевой ряд (т.е. строку или столбец, состоящие из одних нулей); · ранг матрицы АЭ, полученной из матрицы А с помощью элементарных преобразований, равен рангу исходной матрицы А. Можно использовать следующий алгоритм вычисления ранга матрицы: 1) Заданную матрицу А элементарными преобразованиями привести к треугольной или трапециевидной форме АЭ. 2)Записать r (A) = r (АЭ) = k, т.е. числу ненулевых строк матрицы АЭ, так как минор k -го порядка , а все миноры более высоких порядков равны нулю, поскольку содержат нулевые строки. Понятие ранга матрицы может быть использовано для исследования СЛУ.
Теорема 2.3(Кронекера-Капелли) Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг r(A) основной матрицы системы равен рангу r() расширенной матрицы, т.е. . Число r = называют рангом системы уравнений. Исследование системы с помощью ранга можно проводить следующим образом: 1. Вычислить r (A) и r (); если r (A) ¹ r (), то система несовместна; 2. Если r (A) = r (`А) = r, то система совместна и а) при r = п имеет единственное решение; б) при r < n имеет бесчисленное множество решений. В этом случае r неизвестных СЛУ являются базисными, остальные п – r неизвестных – свободными. Базисными неизвестными выбираются те, коэффициенты при которых в матрице АЭ образуют отличный от нуля минор (базисный минор). Рассмотрим пример. Исследовать СЛУ и в случае совместности – решить. Запишем расширенную матрицу системы и найдем ее ранг, преобразовав к трапециевидной форме `А= Þ Þ = =`АЭ. Ранг матрицы `АЭ равен 3 (три ненулевые строки), а значит и r = 3. Однако матрица, элементы которой стоят слева от вертикальной черты – есть матрица АЭ для основной матрицы системы (которая записана в ` А слева от вертикальной черты). А эта матрица имеет только две ненулевые строки, что означает r (АЭ) = r (А) = 2. Таким образом, r (A) ¹ r и в этом случае система несовместна. Если же рассмотреть систему , то нетрудно убедиться в ее совместности: `А= Þ Þ = =`АЭ, значит, r (A) = r = r = 2 – система совместна. Число неизвестных п = 3 и r < n, в этом случае система имеет множество решений.
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.) |