АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Матричные уравнения

Читайте также:
  1. V2: ДЕ 54 - Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
  2. V2: ДЕ 57 - Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения
  3. V2: Применения уравнения Шредингера
  4. V2: Уравнения Максвелла
  5. VI Дифференциальные уравнения
  6. Алгебраические уравнения
  7. Алгоритм составления уравнения химической реакции
  8. Билет 11. Различные уравнения прямой в пространстве. Матрица перехода к новому базису.
  9. Билет 12 Различные уравнения прямой на плоскости, геометрический смысл параметров. Формула преобразования координат вектора при переходе к новому базису
  10. Билет10 Различные уравнения плоскости, угол между плоскостями. Вид матрицы линейного оператора в базисе из собственных векторов.
  11. Биматричные игры
  12. Векторное, канонические и параметрические уравнения прямой.

Рассмотрим систему линейных уравнений n-го порядка

а11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a1nxn = b1

а21x1 + a22x2 + a23x3 + … + a2nxn = b2 (1)

а31x1 + a32x2 + a33x3 + … + a3nxn = b3

…………………………………………………………

аn1x1 + an2x2 + an3x3 + … + annxn = bn

Главный определитель системы – определитель квадратной матрицы А, составленный из коэффициентов при неизвестных

А= а11 а12 а1n
a21 a22 a2n
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
an1 an2 ann

Неизвестные (х1, х2,..., хn) представим как матрицу – столбец

Х= х1
х2
...
хn

 


Правые части уравнений представим как матрицу – столбец свободных членов

В= b1
b2
...
bn

Тогда систему (1) можно записать в матричном виде (2)

АХ = В (2)

(2) представляет собой матричное уравнение. Если правую и левую часть этого уравнения умножить на А-1, которая существует в случае DА¹0 (кстати говоря, по правилу Крамера система совместна в случае DА¹0), тогда получим

А-1АХ = А-1В,

т.к. А-1А = Е, а ЕХ = Х, то

Х = А-1В (3)

Сопоставим решение (3) в матричном виде с правилом Крамера

А-1= (1/D) Ã

Х=(1/D) ÃВ

ÃВ= А11 А21 : : : : Аn1 b1 =
А12 А22 Аn2 b2
: : : :
А1n А2n Аnn bn

 

= A11b1+A21b2+...+An1bn = Δх 1
A12b1+A22b2+...+An2bn Δх 2
..................................... :
A1nb1+A2nb2+...+Annbn Δх n
Δх = 1 A11b1+A21b2+...+An1bn = b1 а12 : : : : а1n
b2 a22 a2n
: : :
bn an2 ann
                 

 

Δх = 2 A11b1+A21b2+...+An1bn = а11 b1 : : : : а1n
a21 b2 a2n
: : :
an1 bn ann

 

и т.д.

Δх = n A1nb1+A2nb2+...+Annbn = а11 а12 : : : : b1
a21 a22 b2
: : :
an1 an2 bn

Тогда

Х= Δх /D 1 , что подтверждает правило Крамера
Δх /D 2
:
Δх /D n

 

В общем случае, в матричном уравнении АХ=В Х, В могут быть не только матрицей–столбцом, а матрицей такого размера, что АХ существует и равно В.

Тогда

Х = А-1В

Матричное уравнение ХА = В решается аналогично, только

ХАА-1 = ВА-1, АА-1=Е, ХЕ = Х,

Тогда

Х = ВА-1

Матричные уравнения решаются сначала в матричном виде, а затем делаются обращения нужных матриц и далее необходимые действия.

Пример.

АХВ + D = C

AXB = C – D

(A-1A)X(BB-1) = A-1(C – D)B-1

X = A-1(C – D)B-1

Пусть

А=     , В=     , С=     , D=    
-4   -4          

 

A-1=(1/DA)Ã= 1/22   - 3
   

B-1=(1/DB)B = 1/25   - 4  
     
       
C – D=     -     =    
           
                       

X=1/22*1/25   -3       -4 =1/550       -4 =
                   

=1/550   -2 =1/275   -1
  -6   -3

Проверка

АХВ + D = C

 

AXB = 1/275 2   7 -1 3   =
-4     -3 -4  
 
= 1/275   -11     =1/25     =      
  -11 -4            
AXB+D=     +     =     , где
           
 
1   =C Уравнение решено верно.
   
                                                 

Лекция 8.
Обращение матрицы с использованием
алгоритма Гаусса

Метод обращения матриц при помощи союзной очень громоздок уже для матриц 4–го порядка, т.к. для нахождения союзной матрицы для матрицы 4–го порядка необходимо вычислить 16 определителей 3–го порядка, для нахождения союзной матрицы для матрицы 5–го порядка – 25 определителей 4–го порядка и т.д.

Известно, что обратная матрица существует у квадратной невырожденной матрицы и сама является квадратной невырожденной и того же порядка, что и исходная.

Имеем матрицу А=[ aij ]n´m, DА¹0

 
 


А= а11 а12 а1n
а21 а22 а2n
…………………
аn1 аn2 аnn

Составим матрицу А-1с неизвестными элементами хij. Тогда А-1= х11 х12 х1n
х21 х22 х2n
................................
хn1 хn2 хnn

Причем, АА-1 = А-1А = Е, где Е – единичная матрица того же порядка, что А и А-1.

Тогда рассмотрим, например, равенство

АА-1

 

а11 а12 а1n х11 х12 х1n =     ...  
а21 а22 а2n х21 х22 х2n     ...  
………………… .................................. .................................
аn1 аn2 аnn хn1 хn2 хnn     ...  

 

По другому это равенство можно записать в виде n систем линейных уравнений относительно xij (i – номер системы), правые части которых j – столбцы матрицы Е.

a11x1j+a12x2j+...+a1nxnj= 1   : : : :  
a21x1j+a22x2j+...+a2nxnj= 0    
......................................... .. ..
an1x1j+an2x2j+...+annxnj= 0    

Эти системы имеют один и тот же главный определитель (главную матрицу), но разные столбцы свободных членов, следовательно, их можно преобразовать к треугольному виду по алгоритму Гаусса одновременно с учетом правых частей.

Таким образом, обращая матрицу с использованием алгоритма Гаусса, можно сразу написать расширенную матрицу вида

а11 а12 а1n     :  
а21 а22 а2n     :  
………………… : : : :
аn1 аn2 аnn     :  

Рассмотрим пример:

А=        
       
       
       

 

В этом примере матрица А является верхней треугольной, ее определитель D равен произведению элементов главной диагонали и D=1. Следовательно, существует обратная А-1.

Запишем

               
               
               
               

А уже приведена к треугольному виду, следовательно, будем делать обратные преобразования Гаусса. Из последнего уравнения видно, что

х4j =0ô0ô0ô1, это означает, что

х41 = 0, х42 = 0, х43 = 0, х44 = 1.

Найденный х4j подставим в предпоследнее уравнение, получим

х3j + 2 х4 j=0ô0ô1ô0

или

х31 +2х 41 =0

х31 +2*0=0

х31 =0;

х32 +2 х42 =0

х32 +2*0=0

х32 =0;

 

х33 +2 х43 =1

х33 +2*0=1

х33 =1;

 

х34 +2 х44 =0

х34 +2=0

х34 = - 2

Аналогично, двигаясь снизу вверх, получим

x2j + 2x3j + 3x4j= 0ô1ô0ô0

или

х21 +2 х31 +3 х41 = 0

х21 +2*0+3*0=0

х21 =0;

 

х22 +2 х32 +3 х4 2=1

х22 +2*0+3*0=1

х22 =1;

 

х23 +2 х33 +3 х43 =0

х23 +2*1+3*0=0

х23 = - 2;

 

х24 +2 х34 +3 х44 =0

х24 +2(- 2)+3*1=0

х24 =1;

Далее

х1j + 2 x2j + 3 x3j + 4 x4j = 1ô0ô0ô0

или

х11+ 2 х21+ 3 х31+ 4 х41 =1

х1 1+2*0+3*0+4*0=1

х11 =1;

 

х12+ 2 х22+ 3 х32+ 4 х42 =0

х12 +2*1+3*0+4*0=0

х12 = - 2;

 

х13+ 2 х23+ 3 х33+ 4 х43 =0

х13 +2(- 2)+3*1+4*0=0

х13 =1;

х14+ 2 х24+ 3 х34+ 4 х44 =0

х14 +2*1+3(-2)+4*1=0

х14 =0

Заполним обратную матрицу найденными xij

 

А-1=   -2    
    -2  
      -2
       

Сделаем проверку: умножим, например, А-1А=Е

           
     


  -2             =        
    -2                  
      -2                
                       

Лекция 9.
Минор к-го порядка. Ранг матрицы.
Вычисление ранга матрицы


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.021 сек.)