АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Слабые сходимости (топологии)

Читайте также:
  1. Карта для внеаудиторной работы по теме № 24: Мышцы и фасции живота. Влагалище прямой мышцы живота. Слабые места передней брюшной стенки. Паховый канал.
  2. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла первого рода. Достаточные признаки сходимости.
  3. Критерий Коши сходимости ряда
  4. Необходимый признак сходимости ряда
  5. Основные сильные и слабые стороны компании X в сравнении с главным конкурентом в области маркетинга
  6. Посмотрим теперь, какую форму должна в свете Теоремы 1 принимать область сходимости степенного ряда.
  7. Радиус сходимости и круг сходимости степенного ряда
  8. Ряды в комплексной области: теорема Абеля; радиус и круг сходимости.
  9. Сильные и слабые электролиты.
  10. Слабые и болезненные пожилые люди
  11. Следствие (необходимое условие равномерной сходимости ряда).

Слабая сходимость элементов. Пусть нормированное пространство. Для произвольных и конечного множества определим

 

. (2.1)

 

Очевидно, что является открытым множеством, содержащим нуль. Пересечение конечного числа множеств вида (2.1) содержит множество тако-го вида, поскольку

.

 

Следовательно, совокупность множеств вида (2.1) можно взять в качестве определяющей системы окрестностей нуля некоторой топологии. Полученная топология будет слабее исходной. Из теоремы о достаточном числе функционалов следует, что она удовлетворяет аксиоме отделимости Хаусдорфа. Однако слабая топология может не удовлетворять первой аксиоме счетности и потому быть неметризуемой. Тем не менее сходимость в , определяемая этой топологией, представляет собой важное понятие.

О п р е д е л е н и е. Последовательность элементов нормирован-ного пространства называется слабо сходящейся к элементу , если выполняется соотношение

 

.

 

Наличие аксиомы отделимости Хаусдорфа влечет единственность предела слабо сходящейся последовательности. Для обозначения слабой сходимости будем использовать запись

.

 

Т е о р е м а 1. Всякая слабо сходящаяся последовательность ограниче-на.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть . Рассмотрим в последователь-ность , соответствующую последовательности при изометрическом вложении в . По условию при . Другими словами, для последовательности выполнены условия теоремы Банаха – Штейнгауса, в силу которой

 

.

œ

Слабая сходимость функционалов. Пространство можно рассматривать двояко: либо как основное пространство, связывая с ним , либо как пространство линейных ограниченных функционалов на . Поэтому наряду с сходимостью возникает еще один вид слабой сходимости.

О п р е д е л е н и е. Последовательность называется сла-бо сходящейся к , если выполняется условие

 

при .

 

З а м е ч а н и е. В пространстве слабая топология слабее, чем слабая топология. Они совпадают в случае, когда рефлексивно. Из теоремы Банаха – Штейнгауса следует также ограниченность слабо сходящейся последовательности, если банахово пространство.

Значение слабой сходимости видно из следующего результата.

Т е о р е м а 2 (Б а н а х а – А л а о г л у). Пусть сепарабельное нормированное пространство. Тогда из всякой ограниченной последователь-ности можно выделить слабо сходящуюся подпоследователь-ность.

Д о к а з а т е л ь с т в о. По условию . Пусть счет-ное всюду плотное в подмножество. Используя диагональный метод Кан-тора, выбираем подпоследовательность , сходящуюся на всех элементах . Покажем, что последовательность сходится и при лю-бом . Действительно, для фиксированных и выберем так, чтобы выполнялось условие . Но тогда

 

.

 

Однако второе слагаемое можно сделать меньше при больше неко-торого номера. Таким образом, числовая последовательность фунда-ментальна, а потому сходится. Определим теперь на функционал

 

.

 

Очевидно, что линейный функционал. Кроме того,

 

.

 

Следовательно, и теорема доказана.

œ

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)