АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

П 4.2 Итерационный степенной метод нахождения наибольшего по модулю собственного значения и соответствующего собственного вектора

Читайте также:
  1. I этап Подготовка к развитию грудобрюшного типа дыхания по традиционной методике
  2. I. ГИМНАСТИКА, ЕЕ ЗАДАЧИ И МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ
  3. I. Методические основы
  4. I. Методические основы оценки эффективности инвестиционных проектов
  5. I. Предмет и метод теоретической экономики
  6. I. Что изучает экономика. Предмет и метод экономики.
  7. I.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД ГАУССА
  8. II. Метод упреждающего вписывания
  9. II. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
  10. II. Методы непрямого остеосинтеза.
  11. II. Операции над векторами, заданными их разложениями по ортам (заданными координатами)
  12. II. Проблема источника и метода познания.

 

Рассмотрим степенной метод нахождения наибольшего по модулю собственного значения и соответствующего собственного вектора [10].

Рассмотрим вещественную квадратную матрицу

 

.

 

Пусть – ее собственные значения, а – собственные вектора, соответствующие этим собственным значениям, т.е.

.

Будем считать, что матрица А обладает полной системой линейно-независимых собственных векторов, т.е. все предполагаем линейно-независимыми.

Это будет иметь место, например, если матрица А симметрична () или если все ее собственные значения различны.

Тогда систему собственных векторов можно считать базисом n -мерного векторного пространства.

Выберем некоторый вектор в качестве начального итерационного приближения и рассмотрим следующую последовательность векторов:

 

. (1)

 

Выразим вектор на k -ой итерации через вектор начального приближения.

 

 

Разложим вектор начального приближения по базису

 

, (2)

где - некоторые вещественные числа.

Тогда для вектора получаем

 

.

 

Из определения любого собственного вектора можем записать

.

 

Следовательно,

 

(3)

или по компонентам

, (4)

где i -ая компонента вектора ; i -ые компоненты собственных векторов соответственно.

Рассмотрим случай, когда матрица А имеет единственное максимальное по модулю вещественное собственное значение.

Обозначим его и пронумеруем остальные собственные значения в порядке убывания их модулей, так что будем иметь

 

. (5)

 

Будем считать, что . Если это не так, то выбираем другой вектор начального приближения .

В силу (4), (5) имеем для i -ой компоненты вектора :

 

(6)

Так как в силу соотношения (5) все слагаемые вида при больших значениях k.

Аналогично для i -ой компоненты вектора можем записать:

. (7)

Рассмотрим отношение соответствующих компонент вектора Y на двух соседних итерациях:

 

(8)

 

Построим итерационную последовательность

 

(9)

 

Эта последовательность сходится к исходному собственному значению при k → ∞ и любом i=1, 2, …, n.

Таким образом, для нахождения с точностью нужно выбрать любой номер i и построить итерационную последовательность (9), заканчивая итерации по условию

 

.

 

Аналогичным образом можно найти собственный вектор , соответствующий собственному значению :

 

Так как собственный вектор определяется с точностью до постоянного множителя, отсюда находим

 

,

где строится по правилу (1).

Итерационным методом может быть найдено любое последующее собственное значение матрицы. Запишем формулу для нахождения собственного значения и собственного вектора [20]:

.

Пример 1. Методом итераций определить наибольшее по модулю собственное значение и соответствующий ему собственный вектор с точностью

.

 

Решение:

Строим последовательность векторов по правилу:

 

,

где – произвольный вектор.

Тогда имеем

 

,

где и – одноименные координаты двух последовательных векторов.

В качестве начального приближения возьмем , найдем ,

 

,

 

.

 

Найдем

 

,

.

Проверяем условие . Не выполняется, следовательно продолжаем итерационный процесс.

Найдем

,

.

 

Проверяем условие . Условие не выполняется, продолжаем итерации.

Точность достигнута на 8 итерации. Получаем

 

,

- собственное значение.

 

Собственный вектор

или .

Пример 2. В рамках итерационного метода нахождения наибольшего по модулю собственного значения и соответствующего собственного вектора реализовать метод умножения матрицы на вектор.

Данный метод описан в классе «SquareMatrix».

Реализация на языке программирования С++ может иметь следующий вид:

 

Vector SquareMatrix:: multiply_vec (SquareMatrix A, Vector f){

/*Результирующий вектор*/

double *res = new double[A.getRowCount()];

for (int i = 0; i < A.getRowCount(); i++){

for (int j = 0; j < A.getColCount(); j++){

res[i] += A.elements[i][j] * f.getElement(j);

}

}

}

/* Создание вектора */

return Vector(A.getRowCount(), res);

}


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.01 сек.)