|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Примеры. Пример 1. Найти матрицу, обратную матрицеПример 1. Найти матрицу, обратную матрице . Проверить результат. Обратную матрицу находим по формуле . Вычислим определитель матрицы по правилу треугольника: Определитель не равен нулю, следовательно, обратная матрица существует. Сосотавляем матрицу из алгебраических дополнений () и транспонируем ее. ; ; ;
; ; ; ; ; ; .
Выполним проверку: · = .
·
Получим: A-1×A=A×A-1=E. Следовательно, обратная матрица найдена верно. Ответ: .
Пример 2. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера . Решение: Найдем главный определитель системы Так как число уравнений и число неизвестных системы между собой равны m=n=3 и определитель отличен от нуля, система имеет единственное решение. Найдем вспомогательные определители: Неизвестные находим по формулам Крамера: ; . Ответ: .
Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса . Решение. Метод Гаусса – это метод последовательного исключения неизвестных преобразованием данной системы линейных уравнений к эквивалентной. Преобразования уравнений системы заменяются преобразованием строк расширенной матрицы системы до приведения основной матрицы к треугольной или трапециевидной форме. Обнуление элементов выполняется элементарными преобразованиями матрицы(умножение строк на числа, отличные от нуля с последующим сложением).
. Ответ: .
Пример 4. Применить теорему Кронекера – Капели и найти все решения системы методом Гаусса .
Решение. Однородная матрица всегда имеет тривиальное решение, в данном случае (0;0;0;0), поэтому нас интересуют другие решения системы. Применяем метод Гаусса:
.
Так как размерности основной и расширенной матриц системы 3x4 и 3x5 соответственно, ранги этих матриц не могут превышать числа 3. Попробуем посмотреть, есть ли для этих матриц минор третьего порядка, отличный от нуля. Составим его из первых двух и четвертого столбца: , так как определитель треугольного вида равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали. Следовательно, ранги основной и расширенной матриц равны 3. По теореме Кронекера-Капелли данная система совместна. Так как число уравнений m=3 меньше числа неизвестных n=4, то она имеет бесчисленное множество решений. Закрепленных (базисных) переменных будет 3 (так как r=3), свободных переменных будет (n-r=4-3=1) одна. Минор, который мы составили выше, называется базисным, а переменные, входящие в него, базисными. Следовательно, - базисные переменные, а - свободная, то есть . Выполним обратный ход метода Гаусса: . Решением системы будет множество четверок чисел , где . Например, (0;2;2;0), (0;-1;-1;0), - решения системы. Ответ: . Замечание. Обратите внимание, что тривиальное решение тоже задается этим множеством.
Пример 5. Даны координаты векторов и в некотором базисе. Показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе. ; ; ; ; .
Решение. Если векторы образуют базис, то существует разложение вектора в этом базисе , то есть . Отсюда вытекает решение задачи: найти координаты вектора в базисе означает решить систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными . Эта система будет иметь единственное решение, если ее основной определитель будет отличен от нуля. Решаем методом Гаусса: Так как определитель треугольного вида равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали, видим, что он отличен от нуля. Следовательно, векторы независимы и образуют базис. Найдем координаты вектора b в этом базисе
.
Следовательно, или b=(5;0;-1;2) в базисе . Ответ: .
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.007 сек.) |