АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Приведение квадратичной формы к главным осям. Пусть в евклидовом пространстве относительно некоторого ортонормированного базиса е1, ,еп задана квадратичная форма

Читайте также:
  1. BRP открывает новый виток инновационного развития с выпуском платформы Ski-Doo REV
  2. II Формы общения, к вампиризму не относящиеся
  3. II. ЦЕЛИ И ФОРМЫ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПРИХОДА
  4. IV. Формы контроля
  5. IV. Формы контроля
  6. V. Формы контроля
  7. VI. Темы семинарских занятий для очной формы обучения
  8. VII Формы текущего и итогового контроля
  9. VII. Новые формы российского предпринимательства
  10. VII. Приведение аргументов
  11. VII. Принятые формы сексуальных отношений
  12. А) Формы существования

 

Пусть в евклидовом пространстве относительно некоторого ортонормированного базиса е 1,…, е п задана квадратичная форма

K (x) = (1)

Для квадратичной формы в евклидовом пространстве естественно поставить вопрос о существовании канонического ортонормированного базиса. Выбор канонического базиса и нахождение канонического вида квадратичной формы в этом базисе по исторической традиции называют приведением квадратичной формы к главным осям.

Теорема. Для любой квадратичной формы в евклидовом пространстве существует, по крайней мере, один ортонормированный канонический базис.

Доказательство. Пусть квадратичная форма K (x) в ортонормированном базисе e i, i = 1,…, n имеет вид(1) и А = || aij || - матрицаэтой квадратичной формы в данном базисе. Перейдем к новому ортонормированному базису e i ¢, i = 1,…, n с матрицей перехода Т. В новом базисе матрица А К¢ имеет вид

А К¢ = ТtAT. (2)

В заданном ортонормированном базисе e i,, i = 1,…, n, матрица A, являясь симметрической, определяет некоторый симметрический оператор j, который в новом базисе будет иметь матрицу

Аj ¢ = T-1АТ. (3)

По критерию симметричности линейного оператора в евклидовом пространстве существует ортонормированный базис из собственных векторов этого оператора. Будем считать, что именно этот базис мы выбрали в качестве нового. Но тогда матрица Аj¢ диагональна, причем на диагонали стоят собственные значения базисных векторов нового базиса. Обратимся к матрице квадратичной формы в новом базисе. Так как матрица Т ортогональна как матрица перехода от ортонормированного базиса к ортонормированному, то Tt= T-1 и из (2) и (3) мы видим, что А K ¢ = Аj¢. Это значит, что в новом базисе матрица квадратичной формы диагональна и поэтому квадратичная форма принимает канонический вид.

Пример. Привести квадратичную форму

к главным осям и написать формулы перехода к каноническому базису.

Решение. Найдем собственные векторы линейного оператора, определяемого матрицей данной квадратичной формы. Характеристический многочлен этой матрицы имеет вид:

Корни этого многочлена суть числа Это значит, что в искомом каноническом базисе квадратичная форма будет иметь вид Собственные векторы, относящиеся к собственному числу 9, определяются из системы уравнений

и пропорциональны вектору а 1 = (1,2,2). Собственные векторы, относящиеся к числу 18, определяются из уравнения

и, следовательно, имеют вид (-2 х 2-2 х 3, х 2, х 3). Выберем среди этих векторов два ортогональных, например, а 2 = (2,1,-2) и а 3 = (2,-2,1). Нормируя векторы а 1, а 2, а 3, получим искомый канонический базис

е 1¢= (), е 2¢= (), е 3¢= ().

Следовательно, формулы перехода будут иметь вид

, .

 

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)