АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Ядро и образ линейного оператора

Читайте также:
  1. A) государственное ценообразование
  2. Aufgabe 2. Изучите образцы грамматического разбора простых предложений.Выберите из текста и разберите 3 простых предложения.
  3. Aufgabe 3. Образуйте прилагательные от названий времён года.
  4. B. обучение образам правого полушария
  5. CTMPINCS (В.Спецификация образца приходного документа)
  6. C_EOBASE (Б. Образцы запросов хозопераций)
  7. I-III – зародышевые бугры, из которых образуются различные отделы лица.
  8. I. Государственный стандарт общего образования и его назначение
  9. I. Образ науки
  10. II. Конец Золотой Орды и история образования казакского ханства
  11. II. ОБРАЗЕЦ ОФОРМЛЕНИЯ ТИТУЛЬНОГО ЛИСТА КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
  12. II. Элементарные преобразования. Эквивалентные матрицы.

Пусть V – n -мерное векторное пространство над полем Р, j: V®V линейный оператор.

Определение 1. Множество Imj образов всех векторов из V при отображении j называется образом линейного оператора j, то есть

Imj ={j x ½ x Î V }.

Теорема 1. Образ линейного оператора является векторным подпространством, размерность которого равна рангу этого линейного оператора.

Доказательство. Покажем, что Imj - подпространство. Пусть х ¢, у ¢ - любые векторы из образа, то есть х ¢= j х, у ¢= j у, где х, у – некоторые векторы из V, а a - любое число.

Тогда х ¢+ у ¢ = j х + j у = j(х + у) Î Imj, a = aj x = j(a x) Î Imj. По теореме 1 §6 главы 1 заключаем, что образ оператора – подпространство. Выясним его размерность.

Пусть е 1,…, e n – некоторый базис в V, а х произвольный вектор пространства V. Тогда этот вектор разложится по базису в виде х = x 1 e 1+…+ xn e n, а образ этого вектора имеет вид

j х = x 1j e 1 +…+ xn j e n. (1)

Равенство (1) говорит нам о том, что система образов базиса является системой образующих для Imj, то есть Imj = <j e 1,…,j e n >, а максимальное число независимых векторов в этой системе будет размерностью образа линейного оператора. Если вспомнить правило составления матрицы линейного оператора в базисе, то очевидно, что независимых векторов в системе будет столько, сколько независимых столбцов в матрице линейного оператора. Следовательно, rang j = dim Imj, и теорема доказана.

Определение 2. Ядром линейного оператора j называется множество Kerj таких векторов, образы которых равны нулю, то есть

Kerj = { x ½j x = 0 }.

Теорема 2. Ядро Kerj линейного оператора j есть подпространство векторного пространства, причем его размерность

dim Kerj = n - rang j.

Доказательство. Пусть х и у – произвольные векторы из ядра линейного оператора, то есть j х = 0 и j у = 0, а a - любое число. Поскольку j(х + у) = j х + j у = 0 и j(a х) = aj х = 0, то х + у Î Kerj и a х ÎKerj. Это значит, что Kerj - подпространство. Чтобы выяснить его размерность, поступим следующим образом: выберем базис e 1,…, e n пространства V следующим образом. Первые k векторов е 1,…, e k выберем в ядре оператора j, а затем дополним эту систему до базиса всего пространства. Так как j e 1 = …= j e k = 0, то в этом случае Imj = <j e k+ 1,…,j e n>. Оказывается, все векторы j e k+ 1,…,j e n линейно независимы. Действительно, предположив противное, составим нулевую нетривиальную комбинацию этих векторов a k+ 1j e k+ 1 + … +a n j e n= 0. Тогда можно построить ненулевой вектор a = a k+ 1 e k+ 1 +… +a n e n, заведомо не принадлежащий ядру (иначе он выразился бы через базис ядра).

Но равенство j а = a k+ 1j e k+ 1+…+a n j e n = 0 показывает, что вектор а принадлежит ядру, а это противоречит построению указанного вектора. Теперь очевидно, что dim Imj = rang j = n-k, а так как размерность ядра равна k, то получаем, что

dim Kerj = n-rang j.

Размерность ядра линейного оператора называют дефектом линейного оператора и обозначают def j.

Покажем, как описать ядро линейного оператора j, если дан произвольный базис е = (e 1,…, e n), а оператор задан в этом базисе своей матрицей Аj. Тогда координаты вектора у = j x вычисляются по формуле [ y ] = Aj[ x ] (см. глава 2, § 1, равенство (9)). Очевидно, вектор х тогда и только тогда принадлежит ядру, когда у = 0, то есть Аj[ x ] = 0 (здесь 0 –матрица-столбец из нулей). Это значит, что координаты векторов ядра найдутся как решения системы линейных уравнений

a 11 x 1 +…+ an 1 xn = 0,

……………………. (2)

a 1 n x 1 +…+ annxn = 0.

Пример. Найти ядро и образ линейного оператора φ, заданного в некотором базисе пространства R4 матрицей

Решение. Находим ранг матрицы линейного оператора:

rank A = 2.

Значит, размерность образа линейного оператора Im φ равна 2, размерность ядра kerφ равна 4 – 2 = 2.

Базис образа можно, например, составить из векторов φ е1, φ е2, координаты которых записаны в первых двух столбцах матрицы А.

Im φ = < φ е1, φ е2 >.

Для отыскания ядра решаем однородную систему уравнений:

x1 + 3x2 + 5x3 + x4 = 0,

2x1 + x2 + 3x3 + x4 = 0.

Общее решение этой системы: (-4α -2β, -7α –β, 5α, 5β). Базис ядра составляют, например, векторы (-4, -7, 1, 0) и (-2, -1, 0, 1).

 

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)