АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Изоморфизм векторных пространств

Читайте также:
  1. I.3 СК В ПРОСТРАНСТВЕ
  2. V2: ДЕ 11 - Векторные пространства. Линейные операции над векторами
  3. V2: ДЕ 14 – Векторные пространства. Коллинеарность векторов.
  4. X. ПРОИСХОЖДЕНИЕ КОСМИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ
  5. Адыгея в Политико-экономическом пространстве России. Особенности проведения экономической реформы в республике.
  6. Аксиомы линейного пространства
  7. Анализ изменения пространственного спектра фазовой решетки при смещении ее вдоль оси 0х.
  8. Аналитическая геометрия в пространстве
  9. Антиномии пространства и времени
  10. Арифметическое представление пространства и времени
  11. Архитектоника культурного пространства
  12. Асимметрия в арх. ее проявление в решении композиции внутренних пространств.

Пусть даны векторные пространства V и V ¢ над одним и тем же полем Р.

Определение 1. Изоморфизмом векторных пространств V и V ¢ называется биекция j: V®V¢, такая, что для любых векторов a, b из V и любого числа a из Р

j(a + b) = j(a) + j(b), (1)

j(a a) = aj(a). (2)

Если существует изоморфизм пространств V и , то эти пространства называются изоморфными.

Докажем следующие простые свойства изоморфизмов векторных пространств.

10. Если j - изоморфизм, то и j-1 – изоморфизм.

Действительно, найдем образы обеих частей равенств (1) и (2) при отображении j-1, учитывая, что j-1 j - тождественное преобразование:

a + b = j-1(j(a) + j(b)), (3)

a a = j-1(aj(a)). (4)

Если ввести обозначения

j(а) = а ¢, j(b) = b ¢, a = j-1(a ¢), b = j-1(b ¢),

то эти равенства примут вид, аналогичный равенствам (1) и (2), а именно:

j-1(a ¢) + j-1(b ¢) = j-1(a ¢ + b ¢), aj-1(a ¢) = j-1(a a ¢).

20. Образом нулевого вектора 0 Î V при изоморфизме является нуль-вектор 0 ¢Î V ¢.

Справедливость этого свойства сразу следует из (2) при a = 0.

30. Образом противоположного вектора при изоморфизме является противоположный образ этого вектора, то есть j(- а) = -j(а).

Как и в предыдущем случае, справедливость этого утверждения сразу следует из (2) при a = -1.

40. Если j и y - изоморфизмы векторных пространств, то их композиция j y также является изоморфизмом.

Справедливость этого утверждения вытекает из равенств:

j y(a + b) = j(y(a + b)) = j(y(a)+y(b)) = j y(a) + j y(b) и

j y(a а) = j(y(a а)) = j(ay(а)) = aj y(а).

50. При изоморфизме образы линейно независимой системы векторов образуют линейно независимую систему.

Доказательство. Пусть а 1,…, a s - линейно независимая система. Предположим противное, что образы векторов этой системы линейно зависимы, то есть существует равная нулю нетривиальная линейная комбинация

l1j(a 1) +…+lsj(a s) = 0 ¢. (5)

Учитывая свойства изоморфизма 10 и 20, заключаем, что l1 a 1+…+ls a s = 0, что противоречит линейной независимости системы a 1,…, a s.

Теорема. Все n-мерные векторные пространства над одним и тем же полем Р изоморфны между собой.

Доказательство. Пусть даны два n -мерных пространства V и V ¢. Выберем в V базис e 1,…, e n, а в V ¢ - базис e 1¢,…, e n ¢. Построим отображение j:V®V¢ следующим образом: каждому вектору х из V, разлагающемуся побазису e 1,…, e n в виде x = x 1 e 1+…+ xn e n, поставим в соответствие вектор j (x) = x 1 e 1¢+…+ x n e n ¢ из V ¢. С учетом теоремы 2 § 3 и определения изоморфизма заключаем, что j - изоморфизм.

Заметим, что в алгебре изоморфные векторные пространства не считаются различными.

Пример. Пространство квадратных матриц порядка 2 с элементами из поля действительных чисел изоморфно арифметическому пространству строк длины 4 над тем же полем:

где

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)