АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Односторонние пределы. Число А называется левым пределом функции f (x) в точке х0, если для любого как угодно малого положительного числа ε можно найти зависящее от этого

Читайте также:
  1. Административное выдворение за пределы РФ иностранных граждан и лиц без гражданства.
  2. Виды соучастников. Основания и пределы уголовной ответственности соучастников
  3. Вопрос 7.1.3. Существуют ли предусмотренные пределы развития для нашей цивилизации ?
  4. Вопрос37. Первый и второй замечательный пределы и следствия из них.
  5. Вопрос: Предел функции в точке. Геометрический смысл. Односторонние пределы.
  6. Выделите виды и формы соучастия в преступлении. Укажите особенности квалификации в зависимости от форм соучастия. Распишите основания и пределы ответственности соучастника
  7. Глава II. Пределы изменчивости характера рас
  8. За пределы слов и звуков
  9. За пределы страны или препятствовать их возвращению на роди-
  10. Законная сила судебного решения (понятие, свойства, пределы).
  11. Замечательные пределы
  12. Каковы изначальные пределы биологической активности тела человека?

Число А называется левым пределом функции f (x) в точке х 0, если для любого как угодно малого положительного числа ε можно найти зависящее от этого ε положительное число δ, что для всех значений аргумента меньших чем х 0 и отличающихся от него на величину меньшую δ, значения функции отличаются от числа А на величину, меньшую чем ε:

( ε > 0) ( δ = δ (ε) > 0) ( x 0 - δ < x < x 0): | f (x) – A | < ε.

Число B называется правым пределом функции f (x) в точке х 0, если для любого как угодно малого положительного числа ε можно найти зависящее от этого ε положительное число δ, что для всех значений аргумента больших, чем х 0 и отличающихся от него на величину меньшую чем δ, значения функции отличаются от числа В на величину, меньшую чем ε:

( ε > 0) ( δ = δ (ε) > 0) ( x 0< x < x 0+ δ): | f (x) – В | < ε

Левый и правый пределы функции в данной точке условно записывают как

и

Теорема. Функция f (x) имеет в точке х 0 конечный предел тогда и только тогда, когда в этой точке существуют конечные правый и левый пределы, и они равны. В этом случае предел функции равен односторонним пределам.
Доказательство. Пусть

Тогда, согласно определению предела функции слева и справа,

( ε > 0) ( δ1 = δ1 (ε) > 0) ( x 0– δ1 < x < x 0): | f (x) – A | < ε.

( ε > 0) ( δ2 = δ2 (ε) > 0) ( x 0< x < x 0+ δ2): | f (x) – A |<ε

Возьмем δ = min{δ12}. Тогда для всех х, удовлетворяющих неравенствам 0 < | х - х 0 | < δ, будет выполняться неравенство | f (x) - A | < ε. Что и означает

Обратно, пусть

Тогда, по определению предела функции в точке, для любого как угодно малого положительного числа ε > 0 существует зависящее от этого ε число δ > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < | х - х 0| < δ, выполняется неравенство | f (х) – А | < ε. Тем самым, как для х 0– δ < х < х 0, так и для х 0 < x < х 0 + δ, справедливо неравенство | f (х) – А | < ε. А это,согласно определению односторонних пределов, означает, что

- докажем непрерывность этой ф-ии в некотррой точке х0:

,

,

, , ,

 

34. Задачи приводящие к понятию производной. Производная ф-ии в точке. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали к графику ф-ий.
Пусть на отр. [a;b] определена ф-ия y=f(x), х0Î(a;b), рассмотрим (1)
Пусть существует конечное значение lim (1), - это число называют производной ф-ии y=f(x), х=х0.Обозначается (f’(x), , )
При изменении т. х0 будет манятся значение предела, таким образом можно рассмотреть ф-ию ,


, поэтому , .
Уравнение касательной:

35. Определение дифференцируемой функции. Дифференциал. Примеры.

Дифференциал. Пусть на отрезке (a; b) определена функция y = f(x), которая имеет в точке Xo, Xo Î (a; b), тогда принадлежит функции Δf(Xo) = f(Xo + ΔX) – f(Xo) = f ’(Xo)ΔX + 0(ΔX) – 1). Из 1) следует, что принадлежит функции можно представить в виде суммы двух слагаемых. Первые из них являются линейные функции, относят ΔX, а второе является величиной ¥ < более высокого порядка, чем DX. Рассмотрим схему о возможности предоставления приделу произвольной функции. y = f(x) в виде суммы двух слагаемых. Одно из которых является линейным – относительно превращения независимой переменной, а другая является ¥ < более высокого порядка, т. е. f(Xo + DX) – f(Xo) = A + DX + 0(DX) - 2). Первое слагаемое A´ DX – называется главной линейной частью превращения. Определение: Главная линейная часть превращения называется дифференциалом и обозначается следующим образом dy, df(Xo). Разделим левую и правую часть

Пример. Доказать, что функция |x| не дифференцируема в точке x = 0.

Решение. Найдем приращение функции в точке x = 0:

D y = | D x|

Поэтому

limD x ® -0D y/ D x = -1, limD x ® +0D y/ D x = 1,

следовательно, функция |x| в точке x = 0 не дифференцируема.

 

36. Геометрический смысл дифференциала. Пусть задана функция g = f(x), проведем через точку с координатами (Xo; f(Xo)) касательную. Уравнение касательной имеет вид . Подставим вместо x значение Xo + DX, тогда получим . Дифференциал df(Xo) равен превращению ординаты касательной, при изменении x от Xo до DX + Xo.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)