АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Дифференциал сложной функции нескольких переменных

Читайте также:
  1. II. Основные задачи и функции
  2. III. Предмет, метод и функции философии.
  3. IV. Конструкция бент-функции
  4. Ms Excel: мастер функций. Логические функции.
  5. Public void тестОтчетаНесколькихПосещений()
  6. V2: ДЕ 29 - Введение в анализ. Предел функции на бесконечности
  7. V2: ДЕ 32 - Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная
  8. V2: ДЕ 35 - Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производные высший порядков
  9. V2: ДЕ 39 - Интегральное исчисление функции одной переменной. Приложения определенного интеграла
  10. V2: ДЕ 53 - Способы решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
  11. V2: ДЕ 54 - Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
  12. V2: ДЕ 57 - Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения

Предположим, что в уравнении

и являются функциями независимых переменных и

В этом случае есть сложная функция от аргументов и

Конечно, можно выразить и непосредственно через и а именно:

Предположим, что функции имеют непрерывные частные производные по всем своим аргументам и поставим задачу: вычислить и исходя из уравнений и и не пользуясь уравнением

Дадим аргументу приращение сохраняя значение неизменным. Тогда, в силу уравнений и получат приращения и Но если и получают приращения и то и функция получит приращение определяемое формулой:

где и при и

Разделим все члены этого равенства на

Если то и (в силу непрерывности функций и Но тогда и тоже стремятся к нулю. Переходя к пределу при получим:

Если бы мы дали приращение переменному а оставили неизменным, то с помощью аналогичных рассуждений нашли бы:

Для случая большего числа переменных формулы и естественным образом обобщаются. Например, если есть функция четырех аргументов а каждый из них зависит от и то формулы и принимают вид:

Если задана функция где в свою очередь зависят от одного аргумента то, по сути дела, является функцией только одного переменного и можно ставить вопрос о нахождении производной Эта производная вычисляется по первой из формул

но так как функции только одного аргумента то частные производные обращабтся в обыкновенные, кроме того, поэтому

Эта формула носит название формулы для вычисления полной производной (в отличие от частной производной ).

Найдем далее полный дифференциал сложной функции, определенной равенствами и Подставим выражения и определенные равенствами и в формулу полного дифференциала:

Получаем:

Произведем следующие преобразования в правой части:

Но

Равенство с учетом равенств можно переписать так:

Сравнивая и можем сказать, что выражение полного дифференциала функции нескольких переменных (дифференциала первого порядка) имеет тот же вид, т.е. форма дифференциала первого порядка инвариантна, являются ли и независимыми переменными или функциями независимых переменных.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.009 сек.)