АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Частотные критерии устойчивости

Читайте также:
  1. II. Показатели финансовой устойчивости предприятия.
  2. III.4. Критерии оценки преступления. Вина
  3. Алгебраические критерии устойчивости
  4. Алгебраические критерии устойчивости
  5. Амплитудно частотные характеристики различных приборов, измеряющих частоту электрических сигналов.
  6. Анализ запаса финансовой устойчивости (зоны безубыточности) предприятия
  7. Анализ коэффициентов финансовой устойчивости
  8. Анализ ликвидности, платежеспособности и финансовой устойчивости организации
  9. Анализ равновесия между активами предприятия и источниками их формирования. Оценка финансовой устойчивости предприятия
  10. Анализ устойчивости по ЛЧХ
  11. Анализ финансовой устойчивости
  12. Анализ финансовой устойчивости

На практике алгебраические критерии применяют к системам невысокого порядка (n < 5...6). При более высоком порядке системы применение алгебраических критериев становится неэффективным из-за резко возрастающей трудоемкости вычислений. В этом случае для анализа устойчивости применяют частотные критерии, основным из которых является критерий Найквиста. Критерий Найквиста позволяет не только установить сам факт устойчивости или неустойчивости системы, но и определить запасы устойчивости.

Критерий Михайлова

Пусть Q (l) – характеристический полином системы. По Q (l) строится кривая Михайлова – АФХ характеристического полинома.

l ® i w Þ Q (i w) = a 0(i w) n + a 1(i w) n -1 + … + an -1(i w)1 + an,

Re Q (i w) = anan -2w2 + an -4w4 – …; Im Q (i w) = an -1w – an -3w3 + an -5w5 – …

Чтобы система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы кривая Михайлова проходила через «n» квадрантов (или делала поворот на угол Dj = n ×p/2, где n – порядок характеристического полинома (порядок характеристического уравнения).

Замечания.

1. Наибольший возможный угол поворота Dj £ n ×p/2.

2. Всегда Dj = k ×p/2 (k – целое), т. е. кривая Михайлова проходит целое число квадрантов; для устойчивой системы – k = n, для неустойчивой системы – k < n.

3. Dj = p/2×(n – 2 N +), где N + – число «неустойчивых корней» (корней с положительной вещественной частью).

4. Если система устойчива, то j(w) – монотонная функция.

5. Критерий можно применять для исследования устойчивости как замкнутых, так и разомкнутых систем (в последнем случае нужно рассматривать характеристический полином разомкнутой системы).

Другая формулировка критерия Михайлова. Для устойчивости линейной системы при положительных коэффициентах характеристического уравнения, необходимо и достаточно, чтобы кривые X (w) = Re Q (i w) и Y (w) = Im Q (i w) имели в сумме число пересечений с осью абсцисс равное порядку n уравнения и чтобы абсциссы этих точек перемежались.

Пример.

Q (p) = p 3+3 p 2+2 p +1

ReQ (i w)
w
X (w), Y (w)
ImQ (i w)

Рис. 2.40. АФХ устойчивой системы

Пример. Q (p) = 3 p 3+ p 2+ p +2.

X (w), Y (w)
ImQ (i w)
ReQ (i w)
w

Рис. 2.41. АФХ неустойчивой системы

Критерий Найквиста

Критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости САУ по характеристикам ее разомкнутой части. Поэтому для его использования система должна быть приведена к стандартной форме (с единичной отрицательной обратной связью, рис. 2.42).

 

x (t) y (t) G раз(p) – ПФ разомкнутой системы

G раз(p)

 

 

Рис. 2.42. Стандартная форма представления системы

Формулировка критерия зависит от устойчивости разомкнутой системы.

1. Если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы было равно нулю суммарное число пересечений амплитудно-фазовой характеристикой разомкнутой системы отрезка вещественной оси (–1; –¥). При этом пересечению снизу вверх присваивается значение –1, а пересечению сверху вниз +1 (рис. 2.44).

2. Если разомкнутая система находится на границе устойчивости, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы было равно нулю суммарное число пересечений амплитудно-фазовой характеристикой отрезка вещественной оси (–1; –¥), дополненной в точках разрыва дугами бесконечно большого радиуса.

3. Если разомкнутая система неустойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы суммарное число пересечений амплитудно-фазовой характеристикой отрезка вещественной оси (-1; -¥) было равно N +/2, где N + число неустойчивых корней.

Рис. 2.43. К подсчету числа пересечений

Разомкнутая система находится на границе устойчивости, если ее характеристический полином (знаменатель передаточной функции разомкнутой системы) имеет корни с нулевой вещественной частью. В случае нулевых корней АФЧХ разомкнутой системы имеет разрыв при ω = 0. Этот разрыв равен –π∙ m /2, где m – кратность нулевого корня. Поэтому АФЧХ следует дополнить дугой, равной –π∙ m /2, начинающейся с положительной вещественной полуоси (рис. 2.44, радиус дуги R = µ).

w=0
R =¥, j=-p/2
Re G (i w)
Im G (i w)

Рис. 2.44. Разрыв АФЧХ при ω = 0

Если же характеристический полином разомкнутой системы имеет чисто мнимые корни, соответствующие звеньям с ПФ , то разрыв имеет место в точках ω i = 1/ Ti и равен -π. Поэтому АФЧХ в каждой подобной точке дополняется дугой равной -π (рис. 2.45).

Наиболее удобно применять критерий Найквиста в терминах логарифмических частотных характеристик.

 

w=1/ T
w=1/ T
R =¥, j=-p
Re G (i w)
Im G (i w)

Рис. 2.45. Разрыв АФЧХ при ω = 1/ Т

Критерий Найквиста в терминах логарифмических
частотных характеристик

Для применения критерия Найквиста при исследовании замкнутой системы с единичной отрицательной обратной связью (система должна быть предварительно приведена к указанному виду) строятся логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы. Итак, об устойчивости замкнутой системы судят по характеристикам ее разомкнутой части. Вся «прелесть» использования критерия Найквиста заключается в том, что логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы обычно легко построить.

Рассматривается область частот, где L (w) > 0. На этом участке считается число пересечений фазовой характеристикой уровней
–p ± 2p k (k – целое число). Фазовая характеристика должна быть дополнена в точках разрыва. Разрывы могут быть двух видов. Разрывы первого вида имеют место при w = 0, если G раз(p) имеет m нулевых полюсов. Фазовая характеристика при w = 0 имеет скачок вниз на - m p/2. Разрывы второго вида имеют место при w = 1/ T, если G раз(p) имеет чисто мнимые полюсы ± i ×1/ T (в знаменателе сомножители вида T 2 p 2+1). Фазовая характеристика при w = 1/ T имеет скачок вниз на -p. Если скачок происходит через уровень -p ± 2p k, то соответствующее пересечение учитывается.

1. Если разомкнутая система устойчива или находится на границе устойчивости, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы равнялось нулю суммарное число пересечений ЛФХ уровня –p ± 2p k в области частот, где L (w) > 0. Пересечению ЛФХ уровня -p ± 2p k сверху вниз присваивается -1, снизу вверх - +1. Если фазовая характеристика начинается с этого уровня, такому пересечению присваивается соответственно -1/2 или
+ 1/2.

2. Если разомкнутая система неустойчива (имеет N+ корней с положительной вещественной частью), то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы суммарное число пересечений ЛФХ уровня –p±2p k в области частот, где L (w) > 0 было равно N+ /2.

Резюме. Для исследования устойчивости линейной САУ по критерию Найквиста следует:

1. Привести систему к стандартному виду (с единичной отрицательной обратной связью).

2. Привести выражение для передаточной функции разомкнутой части системы к стандартной форме (произведению передаточных функций элементарных звеньев).

3. Исследовать устойчивость разомкнутой системы (по корням характеристического полинома – знаменателя передаточной функции).

4. Построить логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы.

5. Воспользоваться соответствующей формулировкой критерия Найквиста в терминах логарифмических частотных характеристик.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.006 сек.)