АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Завдання 4.4.31. Знайти загальний розв’язок лінійного диференціального рівняння другого порядку

Читайте также:
  1. I. Мета, завдання та загальні вимоги до виконання курсової роботи
  2. III. Мета, стратегічні напрями та основні завдання Національної стратегії
  3. А. Завдання
  4. А. Завдання
  5. А. Завдання
  6. БНМ 2.2.14 Основне рівняння молекулярно-кінетичної теорії газів
  7. БНМ 5.1.2 Рівняння гармонічних коливань у контурі
  8. Верховний Суд України переглядає судові рішення у кримінальних справах виключно з підстав і в порядку, встановлених цим Кодексом,
  9. Види риторичної майстерності. (Практичні завдання, які студент готує самостійно й репрезентує публічно).
  10. Виконати практичні завдання
  11. Виконати практичні завдання
  12. Виконати практичні завдання

.

Розв’язання. Задане рівняння є лінійним неоднорідним рівнянням другого порядку зі сталими коефіцієнтами. Згідно з формулою загальний розв’язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння складається із загального розв’язку відповідного однорідного рівняння і деякого частинного розв’язку лінійного неоднорідного рівняння:

.

Знайдемо спочатку . Для цього складемо характеристичне рівняння і знайдемо його корені:

, .

Загальний розв’язок однорідного рівняння знаходимо за формулою:

.

Далі визначаємо . В нашому випадку права частина диференціального рівняння має вигляд

,

де , тобто число є двократним коренем характеристичного рівняння. Отже, частинний розв’язок неоднорідного рівняння будемо шукати у вигляді

,

де - невідомий коефіцієнт. Знайдемо

,

Підставимо знайденні похідні в рівняння :

Тотожно прирівнявши ліву і праву частини останнього рівняння, знайдемо

.

Таким чином, - частинний розв’язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння, а його загальний розв’язок має вигляд

.

Завдання 4.5.31. Дослідити на збіжність числові ряди

а)

Розв’язання. Запишемо -ий і -ий члени заданого ряду: . Тепер застосуємо ознаку Даламбера: . , отже досліджуваний ряд збігається.

б) .

Розв’язання. За радикальною ознакою Коші

, , тому цей ряд збіжний.

в)

Розв’язання. Порівняємо цей ряд зі збіжною геометричною прогресією: , знаменник якої . Оскільки при всіх маємо: , то за ознакою порівняння досліджуваний ряд - збіжний.

г) , де - деяка стала.

Розв’язання. Використаємо інтегральну ознаку збіжності, беручи в якості : . Якщо , то , тобто інтеграл, а разом з ним і ряд – розбіжні. Якщо , то

Отже, узагальнений гармонічний ряд збігається, коли , і розбігається, коли .

Завдання 4.6.31. Дослідити на абсолютну та умовну збіжність знакозмінний числовий ряд:

а)

Розв’язання. Обидві умови ознаки Лейбніца виконані, тому ряд - збіжний. Запишемо ряд з абсолютних величин членів заданого ряду:

Застосуємо для цього ряду інтегральну ознаку Коші, взявши .

Маємо:

За інтегральною ознакою Коші останній ряд збіжний, отже заданий ряд - абсолютно збіжний.

 

б) де - деяка стала.

Розв’язання. Маємо знакозмінний ряд. Розглянемо збіжність ряду, складеного з абсолютних величин членів заданого ряду:

.

Порівняємо ий член цього ряду з м членом узагальненого гармонічного ряду :

.

Вище було доведено, що узагальнений гармонічний ряд збігається, якщо В нашому випадку отже за ознакою порівняння збігається ряд з абсолютних величин, а заданий ряд - абсолютно збіжний.

Завдання 4.7.31. Розкласти в ряд Маклорена функції:

а) .

Розв’язання. Користуючись формулою зниження степеня, маємо: . Степеневий ряд для можна отримати з ряду , якщо брати в цьому ряді замість :

.

Отже,

б) .

Розв’язання. Скористаємося біноміальним рядом:

Ряд функції отримуємо з цього ряду заміною на :

Тоді:

. Оскільки цей ряд отриманий з біноміальною заміною на , то він буде збіжним при або .

 


ВАРІАНТИ ЗАВДАНЬ КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ № 4

Завдання 4.1. Розв’язати диференціальні рівняння:

4.1.1.a) ; б) .
4.1.2.a) б)
4.1.3.a) б)
4.1.4. a) б)
4.1.5. a)   б)
4.1.6.a) б)
4.1.7.a) б)
4.1.8.a) б)
4.1.9.a) б)
4.1.10. a)   б)
4.1.11.a) б)
4.1.12. a)   б)
4.1.13. a)   б)
4.1.14. a) ; б)
4.1.15. a) б)
4.1.16. a)   б)
4.1.17. a) б)
4.1.18. a) б)
4.1.19.a) б)
4.1.20. a) б)
4.1.21.a) б)
4.1.22.a) б)
4.1.23. a) б)
4.1.24. a) б)
4.1.25. a) б)
4.1.26.a) б)
4.1.27.a) б)
4.1.28.a) б)
4.1.29.a) б)
4.1.30. a) б)

Завдання 4.2. Знайти розв’язок задачі Коші диференціального рівняння першого порядку:

 

4.2.1. 4.2.2.
4.2.3. 4.2.4.
4.2..5. 4.2.6.
4.2.7. 4.2.8.
4.2.9. 4.2.10.
4.2.11. 4.2.12.
4.2.13. 4.2.14.
4.2.15. 4.2.16.
4.2.17. 4.2.18.
4.2.19. 4.2.20.
4.2.21. 4.2.22.
4.2.23. 4.2.24.
4.2.25. 4.2.26.
4.2.27. 4.2.28.
4.2.29. 4.2.30.

Завдання 4.3. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння другого порядку:

 

 

4.3.1. . 4.3.2. .
4.3.3. . 4.3.4. .
4.3.5. . 4.3.6. .
4.3.7. . 4.3.8. .
4.3.9. . 4.3.10. .
4.3.11. . 4.3.12. .
4.3.13. . 4.3.14. .
4.3.15. . 4.3.16. .
4.3.17. . 4.3.18. .
4.3.19. . 4.3.20. .
4.3.21. 4.3.22. .
4.3.23. . 4.3.24. .
4.3.25. . 4.3.26. .
4.3.27. . 4.3.28. .
4.3.29. . 4.3.30. .

Завдання 4.4. Знайти загальний розв’язок лінійного диференціального рівняння другого порядку:

 

4.4.1. 4.4.2.
4.4.3. 4.4.4.  
4.4.5. 4.4.6.
4.4.7. 4.4.8.
4.4.9. 4.4.10.
4.4.11. 4.4.12.
4.4.13. 4.4.14.
4.4.15. 4.4.16.
4.4.17. 4.4.18.
4.4.19. 4.4.20.
4.4.21. 4.4.22.
4.4.23. 4.4.24.
4.4.25. 4.4.26.
4.4.27. 4.4.28.
4.4.29. 4.4.30.

 

Завдання 4.5. Дослідити на збіжність числові ряди

4.5.1. а) ; б) ; в) ; г) .
4.5.2. а) ; б) в) г) .
4.5.3. а) ; б) ; в) ; г) .
4.5.4. а) ; б) ; в) ;г) .
4.5.5. а) ; б) ; в) ; г) .
4.5.6. а) ; б) ; в) ; г) .
4.5.7. а) ; б) ; в) ; г) .
4.5.8. а) ; б) ; в) ; г) .
4.5.9 а) ; б) ; в) ; г) .
4.5.10. а) ; б) ; в) ; г) .  
4.5.11. а) ; б) ; в) ; г) .
4.5.12. а) ; б) в) ; г) .
4.5.13. а) ; б) ; в) ; г) .
4.5.14. а) ; б) ; в) ; г) .
4.5.15. а) ; б) ; в) ; г)
4.5.16. а) ; б) ; в) ; г) .
4.5.17. а) б) в) ; г)
4.5.18. а) б) в) г)
4.5.19. а) б) в) г)
4.5.20. а) б) в) г)
4.5.21. а) б) в) г)
4.5.22. а) б) в) г)
4.5.23. а) б) в) г)
4.5.24. а) б) в) г)
4.5.25. а) б) в) г)
4.5.26. а) б) в) г)
4.5.27. а) б) в) г)
4.5.28. а) б) в) г)
4.5.29. а) б) в) г)
4.5.30. а) б) в) г)

 

Завдання 4.6. Дослідити на абсолютну та умовну збіжність знакозмінні числові ряди

4.6.1. а) ; б) .
4.6.2. а) ; б) .
4.6.3. а) ; б) .
4.6.4. а) ; б) .
4.6.5. а) ; б) .
4.6.6. а) ; б) .
4.6.7. а) ; б) .
4.6.8. а) ; б)
4.6.9 а) ; б) .
4.6.10. а) ; б) .
4.6.11. а) ; б) .
4.6.12. а) ; б) .
4.6.13. а) ; б) .
4.6.14. а) ; б) .
4.6.15. а) ; б) .
4.6.16. а) ; б) .
4.6.17. а) б)
4.6.18. а) б)
4.6.19. а) б)
4.5.20. а) б)
4.6.21. а) б)
4.6.22. а) б)
4.5.23. а) б)
4.6.24. а) б)
4.6.25. а) б)
4.6.26. а) б)
4.6.27. а) б)
4.6.28. а) б)
4.6.29. а) б)
4.6.30. а) б)

 

Завдання 4.7. Розкласти функцію в ряд Маклорена та визначити область збіжності ряду

 

4.7.1. ; 4.7.2.
4.7.3. 4.7.4.
4.7.5. 4.7.6.
4.7.7. 4.7.8.
4.7.9. 4.7.10.
4.7.11. 4.7.12.
4.7.13. 4.7.14.
4.7.15. 4.7.16.
4.7.17. 4.7.18.
4.7.19. 4.7.20
4.7.21. 4.7.22.
4.7.23. 4.7.24.
4.7.25. 4.7.26.
4.7.27. 4.7.28.
4.7.29. 4.7.30.

 

Основна рекомендована література

1. Андрощук Л.В., Ковтун О.І., Олешко Т.І. Вища математика. Модуль 7. Ряди. Диференціальні рівняння: Навч. посібник. – К.: Книжкове вид-во НАУ, 2005. – 104 с.

2. Андрощук Л.В., Корнілович Є.Ю., Лубенська Т.В., Шмаков І.П. Вища математика. Модуль 6. Ряди. Операційне числення: Навч. посібник. – К.: Книжкове вид-во НАУ, 2006. – 180 с.

3. Затула Н.І., Левковська Т.А. Вища математика. Модуль 5. Диференціальні рівняння: Навч. посібник. – К.: Книжкове вид-во НАУ, 2007. – 144 с.

Додаткова рекомендована література

4. Барковський В.В., Барковська Н.В. Математика для економістів: Вища математика. - К.: Національна академія управління, 1997. - 398 с.

5. Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика: Навч. посібник. – К.: А.С.К., 2001. – 68с.

6. Вища математика: Збірник задач: Навч. посібник /В.Дубовик, І. Юрик, І. Вовкодав та ін.; За ред. В.Дубовика, І. Юрика. – К: 2001, – 480 с.

 


1 | 2 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.016 сек.)