АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Билет 8

Читайте также:
  1. Абдель дал мне знак поторопиться — казалось, ему хочется быстрее покинуть это место. Самия Шарифф Мой отец заплатил за билеты первого класса.
  2. Билет (a)
  3. Билет (б)
  4. Билет 1
  5. Билет 1.
  6. Билет 10
  7. Билет 11
  8. Билет 12
  9. Билет 12
  10. Билет 12
  11. Билет 12
  12. Билет 13

Если функция интегрируема по Риману на отрезке, то она ограничена

на этом отрезке. Зам.: условие ограниченности является необходимым

условием интегрируемости функции по Риману на отрезке.

Док-во: Пусть функция f(x) интегрируема на

[a, b], тогда . По определению интеграла , то есть

для и любого набора точек выполняется:

, отсюда получаем:

Допустим, что функция не ограничена на [a, b], то есть не ограничена

на некотором . Обозначим остальную, не относящуюся к

данному отрезку часть суммы за σ:

,
В силу неограниченности всегда можно выбрать такое ξ*, что

. Получено противоречие,

следовательно интегрируемая функция должна быть ограниченной.

 

Линейным дифференциальным уравнением n –го порядка называется уравнение вида

(1)

где функции a1(x),..., an(x), b(x) определены на некотором промежутке I числовой пря-

мой; мы будем считать, что все эти функции непрерывны на указанном промежутке. Если

b(x) ≡ 0, то уравнение (1) называется однородным, в противном случае (т.е. если b(x) от-

лична от тождественного нуля) – неоднородным.


Теорема (о существовании и единственности решения линейного уравнения n-го по-

рядка). Для любой точки и для любых чисел

существует решение уравнения (1), определенное на всем промежутке I и удовлетворяющее начальным

условиям

Любые два решения, удовлетворяющие одним и тем же начальным условиям, совпа-

дают во всех точках промежутка I.

Эту теорему принимаем без доказательства.



Билет 9

Если существует конечный предел I интегральной суммы при λ → 0, и он не

зависит от способа выбора точек способа разбиения отрезка, то этот

предел называется определенным интегралом от функции f (x) по отрезку

[ a, b ] и обозначается следующим образом:

5) Аддитивность определенного интеграла:

при любом расположении точек a, b, c.

6) Если a b, a f(x) 0 при всех

7) Если a b, a при всех , то

8) Если

Линейность. Пусть функции и интегрируемы на отрезке , и пусть

и - произвольные вещественные числа. Тогда функция

также интегрируема на , и

Для доказательства запишем очевидное равенство для интегральных сумм:

Переходя здесь к пределу при , получаем требуемое.

Аддитивность. Пусть функция интегрируема на отрезках и .

Тогда она интегрируема и на отрезке , причем

 

Доказательство. Интегрируемость функции на отрезке очевидна в случае

кусочно-непрерывной функции; в общем случае оставляем этот факт без доказательства.

Поскольку интегрируема на , то при составлении интегральной суммы для

интеграла из левой части доказываемого равенства можно считать, что соответствующее

разбиение

содержит точку . Тогда сумма

будет интегральной суммой для интеграла и одновременно суммой

интегральных сумм для интегралов .

После перехода к пределу при и получим требуемое.

 

Для системы функций

),

заданных на промежутке I, обычным образом вводится понятие линейной зависимости; та-

кая система называется линейно зависимой, если существует нетривиальная равная нулю

линейная комбинация этих функций:

В противном случае (т.е. когда тождественному нулю может равняться лишь тривиальная

линейная комбинация этих функций) система функций называется линейно независимой.

Если система функций , заданных на промежутке I, состоит из раз

дифференцируемых функций, то определителем Вронского (вронскианом) этой системы

функций называют определитель

Общее решение (8) на отрезке с непрерывными на этом отрезке коэффициентами

и правыми частями равно сумме общего решения соответствующей

однородной системы (9) и частного решения неоднородной системы (8).(,

тогда (6) можно переписать в виде: ,(8) если то (9))

Рассмотрим линейную однородную систему обыкновенных дифференциальных уравнений вида

 

 

которая в векторной форме записывается в виде

Здесь

Матрица Φ, столбцами которой являются n-линейно независимых на [a, b]

решений Y 1(x), Y 2(x),..., Yn (x) однородной линейной системы Y' = A (x) Y называется

фундаментальной матрицей решений системы:

Фундаментальная матрица решений однородной линейной системы Y' = A (x) Y

удовлетворяет матричному уравнению Φ' = A (x) Φ.

Здесь

--------------- Квадратная матрица Φ(t), столбцы которой образованы линейно

независимыми решениями x1(t), x2(t),..., xn(t), называется фундаментальной

матрицей системы уравнений. Она имеет следующий вид:

где xij (t) − координаты линейно независимых векторных решений x1(t), x2(t),..., xn(t).
Заметим, что фундаментальная матрица Φ(t) является невырожденной, т.е. для нее

всегда существует обратная матрица Φ −1(t). Поскольку фундаментальная матрица

содержит n линейно независимых решений, то при ее подстановке в однородную

систему уравнений получаем тождество

Умножим это уравнение справа на обратную функцию Φ −1(t):

Полученное соотношение однозначно определяет однородную систему уравнений,

если задана фундаментальная матрица.
Общее решение однородной системы выражается через фундаментальную матрицу в виде

где C − n-мерный вектор, состоящий из произвольных чисел.


Билет 10

Теорема об оценке интеграла.

Если на отрезке [ a, b ] функция удовлетворяет неравенству ,

то .
Док-во. Докажем левое неравенство (цифрами над знаками импликации

обозначены номера применяемых ранее доказанных свойств):.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.013 сек.)