Классические критерии принятия решений

Минимаксный критерий (ММ) использует оценочную функцию (5), соответствующую позиции крайней осторожности, т.е.

, (7)

где - оценочная функция ММ-критерия и справедливо следующее соотношение .

Выбранные варианты полностью исключают риск. Это означает, что ЛПР не может столкнуться с худшим результатом, чем тот, на который он ориентируется. Какие бы условия ни встретились, соответствующий результат не может оказаться ниже . Это свойство заставляет считать минимаксный критерий одним из фундаментальных. Поэтому в технических задачах он применяется чаще всего, как сознательно, так и не осознанно. Однако положение об отсутствии риска стоит различных потерь.

Пусть матрица решений представлена в виде

, .

Хотя вариант кажется более выгодным, согласно ММ-критерию (7) оптимальным следует считать . Принятие решения по данному критерию может оказаться еще менее разумным, если состояние встречается чаще, чем состояние и решение реализуется многократно.

Выбирая вариант , предписываемый ММ-критерием, мы избегаем неудачного результата 1, реализующегося в варианте при внешнем состоянии , зато теряем выигрыш 100, получая всего только 1,1. Этот пример показывает, что в многочисленных практических ситуациях пессимизм ММ-критерия может оказаться очень невыгодным.

Поэтому применение ММ-критерия оправдывается, если ситуация в которой принимается решение, характеризуется следующими обстоятельствами:

· о возможности появления внешних состояний ничего не известно;

· решение реализуется лишь один раз;

· необходимо исключить какой бы то ни было риск, т.е. ни при каких условиях не допускается получить результат, меньший чем .

Критерий Байеса- Лапласа (BL-критерий).

Пусть - вероятность появления внешнего состояния , тогда для BL-критерия оценочная функция имеет вид

, (8)

.

Правило выбора можно интерпретировать следующим образом: матрица решений дополняется еще одним столбцом, содержащим математическое ожидание значений каждой из строк. Выбираются те варианты , в строках которых стоит наибольшее значение этого столбца.

Условия, при которых используется данный критерий:

· вероятности появления состояний известены и не зависят от времени;

· решение реализуется (теоретически) бесконечно много раз;

· для конечного числа реализаций решения допускается некоторый риск.

Критерий Сэвиджа (S-критерий).

Сформируем оценочную функцию. Пусть

(9)

и , (10)

тогда оценочная функция имеет вид

. (11)

Тогда множество оптимальных вариантов решения есть

.

Величину можно интерпретировать двояко:

· как максимальный дополнительный выигрыш, который достигается, если в состоянии вместо варианта выбрать другой, оптимальный для этого внешнего состояния вариант;

· как потери (штрафы), возникающие в состоянии при замене оптимального для него варианта на вариант .

Тогда величина представляет собой - при интерпретации в качестве потерь - максимально возможные (по всем внешним состояниям ) потери в случае выбора варианта . Далее максимально возможные потери минимизируются за счет выбора подходящего варианта .

Правило выбора оптимального варианта по критерию Сэвиджа:

· каждый элемент матрицы решений вычитается из наибольшего результата соответствующего столбца. Разности образуют матрицу остатков . Эта матрица дополняется столбцом наибольших разностей ;

· выбираются те варианты , в строках которых стоит наименьшее для этого столбца значение.

Условия применения S-критерия такие же, как для ММ-критерия.

Пример

Дана матрица решений , размером , результатами которой есть убытки. Осуществить выбор наилучшего варианта решения с помощью критериев: минимаксного, Байєса-Лапласа и Севиджа. Известно, что вероятности появления внешних состояний , j=1,...,8 имеют следующие значения: .

.

Решение. Сначала будем искать оптимальный вариант решения с помощью ММ-критерия, для этого матрицу решений дополняем столбцом - наименьших результатов каждой строки, то есть

.

Теперь будем выбирать варианты , в строках которых стоит наибольшее значение этого столбца, то есть . Этот результат отвечает оптимальному варианту .

Применим критерий Байєса-Лапласа для поиска оптимального варианта. Найдем математические ожидания каждой строки и запишем их в дополнительный столбец :

=

Далее применим оценочную функцию (8) и найдем оптимальный вариант. Поскольку , то такой результат отвечает оптимальному варианту .

Для использования критерія Севиджа построим матрицу разностей в соответствии с формулой (9)

.

Для этой матрицы построим дополнительный столбец соответственно формуле (10) и с помощью оценивающей функции найдем оптимальный вариант решения .

Таким образом, используя классические критерии мы получили ряд оптимальных вариантов . Для выбора наилучшего из них необходимы дополнительные условия.

Порядок выполнения работы.

Дана матрица решений, размером 8´8 результатами которой есть или прибыль или убытки осуществить выбор оптимального варианта решения с помощью критериев:

1. Минимаксного;

2. Байєса-Лапласа;

3. Севиджа.

Матрица решений и распределение вероятностей появления внешних состояний выбираются по номеру образованному двумя последними цифрами зачетки:

n – номер образованный двумя последними цифрами зачетки;

k – номер варианта;

Варианты матрицы решений находятся в таблице 1. Распределение вероятностей - появления внешних состояний , j=1,...,n подчиняется значением, которые указаны в таблице 2 по вариантам.

Табл. 1. Варианты матрицы решений:

Поиск по сайту: