АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

МАТРИЦI ТА ОПЕРАЦIЇ НАД НИМИ

Читайте также:
  1. D. Мотилін
  2. В. Моторної і секреторної функції
  3. Вчення Гіппократа
  4. Леся Українка (1871-1913)
  5. Протокол TCP/IP
  6. Які три головних компоненти виділяють у структурі темпераменту?

Індивідуальне завдання № 1.1.2

З вищої математики

Тема: Матриці та дії над ними. Визначники. Системи лінійних рівнянь.

Методичні вказівки

Викладач: к.ф.-м.н. Курікша О.В.

МАТРИЦI ТА ОПЕРАЦIЇ НАД НИМИ.. 3

ПРИКЛАДИ: 6

ЛІНІЙНА ЗАЛЕЖНІСТЬ ЧИСЛОВИХ ВЕКТОРІВ. 8

РАНГ І БАЗИС СКІНЧЕННОЇ СИСТЕМИ ВЕКТОРІВ.. 8

ПРИКЛАДИ: 10

ДЕТЕРМІНАНТ n -ГО ПОРЯДКУ ТА ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ. 13

Властивості детермінанта. 13

Мінор Mij. 14

ПРИКЛАДИ: 16

ОБЕРНЕНА МАТРИЦЯ.. 17

Приклад №1. 18

МАТРИЧНІ РІВНЯННЯ.. 19

СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ.. 20

МЕТОД ГАУССА.. 21

Приклад №1. 23

Приклад №2. 24

МЕТОД КРАМЕРА.. 26

Приклад. 26

МЕТОД ОБЕРНЕНОЇ МАТРИЦІ. 27

Приклад. 27

ОБЧИСЛЕННЯ ДЕТЕРМІНАНТА n -го ПОРЯДКУ.. 28

ПРИКЛАДИ: 29

МАТРИЦI ТА ОПЕРАЦIЇ НАД НИМИ

Матрицею називається сукупнiсть m·n чисел (дiйсних або комплексних) або функцiй, розташованих у виглядi прямокутної таблицi iз m рядкiв i n стовпцiв.

Позначення матрицi:

або А= [aij]=(aij) (i=1, 2,..., m; j=1, 2,..., n)

Елементи аij цiєї сукупностi називаються елементами матрицi.

Перший iндекс елемента вказує номер рядка, другий-номер стовпця, на перетинi яких стоїть цей елемент.

Двi матрицi A=(аij) i B=(bij) (i=1, 2,..., m; j=1, 2,..., n) вважаються рiвними, A=B, тодi i тiльки тодi, коли їх вiдповiднi елементи рiвнi: aij=bij.

Матриця називається квадратною, якщо число її рядкiв дорiвнює числу стовпцiв, тобто m=n. При цьому число m=n називається порядком матрицi.

Для квадратної матрицi вводиться поняття головної та побічної дiагоналей. Головноюдiагоналлю матрицi називається дiагональ a11a22...ann, яка iде з лiвого верхнього кута матрицi в правий нижнiй її кут. Побiчною дiагоналлю називається дiагональ an1a(n-1)2...a1n яка йде з лiвого нижнього кута матрицi в правий верхнiй кут.

Квадратна матриця називається дiагональною, якщо всi її елементи, розташованi поза головною дiагоналлю, рiвнi мiж собою.

Дiагональна матриця порядку n має вигляд:

,

якщо d1=d2=...=dn=d, то при d=1 одержуємо одиничну матрицю E n-го порядку, а при d=0 – нульову матрицю:

Слід виділити, що поняття нульової матрицi вводиться i для неквадратних матриць, тобто нульовою матрицею називається будь-яка матриця, всi елементи якої рiвнi нулю.

Сумою А+B двох матриць A=(aij),(i=1, 2,..., m; j=1, 2,..., n) і B=(bij), (i=1, 2,..., m; j=1, 2,..., n) називається матриця С=(cij), (i=1, 2,.., m; j=1, 2,..., n) де сijij+bij Зауваження. Iз означення суми матриць випливає, що додавати можна тiльки тi матриці, у яких однакова кiлькiсть стовпців.

Додавання матриць комутативне: А+В=В+А (зокрема А+0=А=0+А) і асоціативне (А+В)+С=А+(В+С).

Добутком lА матриці А=(аij), (i=1, 2,..., m; j=1, 2,..., n) на число l називається матриця С=(cij), (i=1, 2,..., m; j=1, 2,..., n), у якої сij=lаij

Зауваження: Множити на число можна будь-яку матрицю, при цьому кожен елемент даної матриці множиться на це число.

Множення матриці на число асоціативне відносно числового множника: (lmА)=l(mА), дистрибутивне відносно додавання матриць: (А+В)=А+В, дистрибутивне відносно додавання чисел: l(А+В)=lА+lВ, (l+m)А=lА+mА

Відмітимо, що 1А=А, (–1)А=–А, 0А=0.

Різницею А–В двох матриць А=(аij), (i=1, 2,..., m; j=1, 2,..., n) і В=(аij), (i=1, 2,..., m; j=1, 2,..., n) називається матриця С=(cij), (i=1, 2,..., m; j=1, 2,..., n), яка в сумі з матрицею В дає матрицю А, тобто С=А–В, якщо В+С=А.

Різниця С двох матриць А і В може бути одержана за правилом:
С=А+(-1)В, це означає, її елементи сijij–bij.

Зауваження. Із означення різниці матриць випливає, що дію віднімання можна проводити тільки над тими матрицями, у яких однакова кількість рядків і однакова кількість стовпців.

Добутком АВ матриці А=(аij), (i=1, 2,..., m; j=1, 2,..., n) на матрицю В=(аij), (i=1, 2,..., m; j=1, 2,..., n) називається матриця С=(cij), (i=1, 2,..., m; j=1, 2,..., n), де ciji1b1j+ai2b2j+...+ainbnj=åaikbkj.

Правило складання елементів матриці С: елемент сij, який стоїть на перетині i-го рядка і j-го стовпця матриці C=АВ, дорівнює сумі попарних добутків відповідних елементів і-го рядка матриці А і j-го стовпця матриці В.

Зауваження. 1. Із означення добутка матриць випливає, що перемножити можна тільки ті матриці, у яких кількість (число) стовпців першої матриці дорівнює кількості (числу) рядків другої.

Зауваження. 2. Для того щоб обидва добутки АВ і ВА були визначені і мали однаковий порядок, необхідно і достатньо, щоб обидві матриці А і В були квадратними одного і того ж порядку.

Множення матриць асоціативне: А(ВС)=(AB)C, дистрибутивне відносно додавання матриць: (А+В)С=АС+ВС і А(В+С)=АВ+АС.

Множення матриць некомутативне, АВ¹ВА, але для одиничної та нульової матриці виконуються відношення: АE=EA, 0A=A0=0.

Якщо А – довільна матриця n-го порядку і Е – одинична матриця того ж порядку, то A0=E, A1=A, A2=AA, A3=AAA, Am=AAA...A(m-разів). Таким чином, вводиться поняття степеня матриці.

Зауваження. Поняття степеня матриці вводиться тільки для квадратних матриць, показник степеня матриці – ціле невід’ємне число.(Далі розглянемо,як для невироджених матриць можна визначити степінь з цілим невід'ємним показником).

Для любих цілих невід’ємних чисел k i l мають місце формули: AkAl=AlAk=Ak+l, (Ak)l=Akl.

Для матриці вводиться операція транспонування, яка? кожній матриці А=(аij), (i=1, 2,..., m; j=1, 2,..., n) ставить у відповідність матрицю А'=(A'ji)(j=1, 2,..., n; i=1, 2,.., m), A'ji=aij. Інакше кажучи, операція транспонування полягає в зміні рядків даної матриці на стовпці із зберіганням порядку їх слідування. Так, якщо

Матриця А' називається транспонованою по відношенню до матриці А.

Властивості транспонування.

1) А''=(A')'=A;

2) (aA+bA)'=aA'+bA', де A і B – любі числа;

3) (AB)'=B'A'

Зауваження. Останні дві властивості виконуються, якщо виконуються додавання aA+bA і множення АВ.

Якщо А – квадратна матриця n-го порядку і (x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn-многочлен від змінної x, то вираз a0A0+a1A1+a2A2+..+anAn називається многочленом від матриці А і позначається f(A)(A0=E – одинична матриця n-го порядку). f(A) також квадратна матриця n-го порядку.

Зауваження. Поняття многочлена від матриці вводиться тільки для квадратних матриць.

Якщо f(x) i g(x)- два многочлени, А-квадратна матриця, то із рівності f(x)+g(x)=f(x), f(x)g(x)=y(x) випливає рівність f(A)+g(A)=f(A), f(A)g(A)=y(A) (f(A)g(A)=g(A)f(A)).

ПРИКЛАДИ:

Приклад №1.

Додати матриці:

,

Розв’язання:

Приклад №2.

Помножити матрицю

на число l=2

Розв'язання

Приклад №3.

Перемножити матриці

Розв'язання

Обидва добутки визначені і мають однаковий порядок, але A×B¹B×A

 

Розв'язання

Добуток A×B має зміст, так як кількість стовпців матриці А дорівнює кількості рядків матриці В. Добуток В×А не має змісту, так як кількість стовпців матриці В (два) не дорівнює кількості рядків матриці А (три).

 

Розв'язання.

Обидва добутки A×BіВ×А мають зміст, так як умова множення матриць виконується, але матриці є різних порядків.

Приклад №4

Виконати дії:

Розв'язання

Приклад №5

Обчислити f(A), якщо

Розв'язання

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.01 сек.)