Энергия сигнала

Для того, чтобы продолжить и углубить геометрическую трактовку теории сигналов, необходимо ввести новое понятие, которое по своему смыслу соответствует длине вектора. Это позволит не только придать точный смысл высказыванию вида “ первый сигнал больше второго”, но и указать, на сколько он больше.

Длину вектора называют его нормой. Линейное пространство сигналов L является нормированным, если каждому вектору S(t)ÎL однозначно сопоставлено число ||S||- норма этого вектора, причем выполняются следующие аксиомы нормированного пространства:

1. Норма неотрицательна, т.е. ||S||³0

||S||=0 тогда и только тогда, когда S=Ǿ

2. Для любого числа a справедливо равенство ||aS||=|a|*||S||

3. Если S(t) и p(t) два вектора и L, то выполняется неравенство треугольника ||S+p|| £ ||S||+||p||

Норма вектора вычисляется по формуле:

||S||=

Квадрат нормы носит название энергии сигнала:

Е_s=||S||²=

Метрическое пространство: введем еще одно понятие, которое обобщало бы наше обычное представление о расстоянии между точками в пространстве.

Говорят, что линейное пространство становится метрическим пространством, если каждой паре элементов U,V L сопоставлено неотрицательное число r(U, V) называемое метрикой или расстоянием между этими элементами. Метрика, независимо от способа ее определения, должна подчиняться аксиомам метрического пространства:

1. r(U, V)=r(V, U)

2. r(U, U)=0 при любых U L

3. Каков бы ни был элемент W L, всегда r(U, V) £ r(U, W)+r(W, V)

Обычно метрику определяют как норму разности двух сигналов r(U, V)=||U-V||.

Норму можно понимать как расстояние между выбранным элементом пространства и нулевым элементом ||U||=r(U, V). Зная метрику, можно судить, насколько хорошо один из сигналов аппроксимирует другой.

Поиск по сайту: