АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Динамические характеристики линейных систем

Читайте также:
  1. A) к любой экономической системе
  2. A) прогрессивная система налогообложения.
  3. C) Систематическими
  4. CASE-технология создания информационных систем
  5. I СИСТЕМА, ИСТОЧНИКИ, ИСТОРИЧЕСКАЯ ТРАДИЦИЯ РИМСКОГО ПРАВА
  6. I. Основні риси політичної системи України
  7. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ (ТЕРМИНЫ) ЭКОЛОГИИ. ЕЕ СИСТЕМНОСТЬ
  8. I. Суспільство як соціальна система.
  9. I. Схема характеристики.
  10. I. Формирование системы военной психологии в России.
  11. I.2. Система римского права
  12. II. Цель и задачи государственной политики в области развития инновационной системы

Прежде чем изучать поведение реальных систем и их моде­лей, необходимо определить формальный язык, на котором будут обсуждаться их свойства. Основным элементом такого фор­мального языка является понятие динамических характеристик, под которыми интуитивно понимают какие-либо соотношения, ха­рактеризующие свойства систем в статике и динамике (при изме­нении состояния).

Дадим следующее определение. Динамической характери­стикой (математической моделью) системы будем называть любое соотношение, заданное аналитически, графически или в виде таб­лицы, которое позволяет оценить ее поведение во времени.

В этом разделе мы будем рассматривать различные способы описания линейных динамических систем, их взаимосвязь и при­ведение к принятой в теории автоматического управления форме записи математической модели.

Отметим, что динамическая характеристика дает возможность исследовать поведение системы, т. е. рассчитать для нее переход­ные процессы.

 

Дифференциальные уравнения

Наиболее часто в качестве математической модели объекта управления используются обыкновенные дифференциальные урав­нения, которые могут быть записаны в различной форме.

Линейные многоканальные объекты обычно описывают систе­мой дифференциальных уравнений первого порядка, представлен­ной в векторно-матричном виде:

х = Ах + Ви (2.1.)

 

Здесь хЄ Rn - вектор состояния, п - порядок объекта; иЄ Rm -вектор управляющих воздействий, т≤п; А - квадратная матрица действительных коэффициентов; В - прямоугольная матрица дей­ствительных коэффициентов. Уравнения (2.1) называют диффе­ренциальными уравнениями состояния.

Выходные переменные объекта изменяются в соответствии с уравнением выхода

У = Сх, (2.2)

где yЄ Rm - вектор выхода; С - прямоугольная матрица действи­тельных коэффициентов. Уравнения (2.1) и (2.2) описывают ли­нейный многоканальный объект.

Для описания одноканального объекта обычно используется скалярное дифференциальное уравнение:

у(п) + апу﴾n-1) +... + а2у + а1у = bи, (2.3)

которое также может быть приведено к виду (2.1) и (2.2) после со­ответствующего выбора линейно-независимых переменных со­стояния. Их число всегда равно порядку объекта (n), a uЄR1 и уЄ R1.

Наиболее простое каноническое описание получается в случае, когда в качестве переменных состояния выбираются выходная пе­ременная у и ее производные до (п -1) включительно

 

х1=у, х2=у,..., хn(n-1).

При этом вместо (2.3) имеем систему уравнений

 
 

 

 


которая соответствует векторно-матричным уравнениям (2.1) и (2.2). Здесь матрицы А, В и С имеют вид

       
   
 
 

 


Выбрав соответствующие переменные состояния, от описания (2.5) также можно перейти к векторно-матричным уравнениям типа (2.1), (2.2). Рассмотрим этот переход на примере.

Пример 2.2

Записать уравнения состояния объекта с математической моде­лью вида

 


Таким образом, в качестве основной динамической характе­ристики линейных объектов управления используются диффе­ренциальные уравнения, которые могут быть представлены в форме (2.1), (2.2).

В теории автоматического управления рассматриваются не фи­зические системы управления, а их математические модели, по­этому необходимо стремиться к тому, чтобы эта модель достаточ­но адекватно отражала свойства реального устройства. Процедуру получения математической модели объекта можно разбить на сле­дующие этапы:

Составление гносеологической (мысленной) модели объекта. Исходя из технического задания и изучения режимов работы объ­екта инженер создает приближенную мысленную модель, которая в дальнейшем уточняется и приобретает вид математической модели.

Определение независимых переменных, которые характеризуют объект, и уточнение их размерностей. При этом число управляю­щих воздействий не может быть меньше числа выходных перемен­ных (dim u ≥dim у). Размерность вектора переменных состояния не может быть меньше размерности вектора выходных перемен­ных (dim u ≥ dim y). Размерность возмущающих воздействий М может быть произвольной и никак не связана с размерностью у, х, и.

Запись физических законов, в силу которых развиваются про­цессы в объекте.

Приведение уравнений объекта к удобному с точки зрения тео­рии автоматического управления виду.

Математическая модель никогда не бывает, тождественна рас­сматриваемому объекту, так как при ее составлении всегда делают какие-либо допущения и упрощения. Поэтому для одной и той же системы в зависимости от целей управления модели могут быть различными.

При составлении математической модели приходится искать компромиссный вариант между двумя противоречивыми требова­ниями: с одной стороны, модель должна наиболее полно отражать свойства реальной системы, с другой - быть простой, чтобы не за­труднять исследований.

 


Перейдем к удобному с точки зрения теории управления описа­нию объекта. При этом выходной величиной будем считать напря­жение на выходе цепи, т. е. y = U2, управляющим воздействием -напряжение на ее входе (u=U1), а переменной состояния- ток, протекающий по цепи (х=1). С учетом

 
 

 

 

 


Здесь ф - угол отклонения маятника (выходная переменная); U - прикладываемая управляющим двигателем сила (входная пере­менная); s - перемещение каретки; m1 - масса каретки; L - расстоя­ние между осью и центром тяжести маятника; m2 - масса маятника; J - момент инерции относительно центра тяжести; g - ускорение си­лы тяжести; Н и V - горизонтальная и вертикальная силы реакции у оси маятника.

Упрощенная модель объекта «каретка - маятник» может быть представлена системой дифференциальных уравнений [9]

 
 

 

 


Для аналитического определения переходной функции следует решить дифференциальное уравнение при нулевых начальных ус­ловиях и единичном входном воздействии.

При исследовании реального объекта переходную характери­стику можно получить экспериментальным путем, подавая на его вход ступенчатое воздействие и фиксируя реакцию на выходе. Ес­ли входное воздействие представляет собой неединичную ступен­чатую функцию u(t)= к 1 (t), то выходная величина будет равна y(l) = k h(t), т. е. представляет собой переходную характеристику с коэффициентом пропорциональности k.

Зная переходную характеристику, можно вычислить реакцию системы на произвольное входное воздействие с помощью инте­грала свертки

 

y(t) = h(t)u(t) +∫ h(t - x)u(τ)dτ (2.6)

 

(τ- переменная интегрирования).

 

2.4. ИМПУЛЬСНАЯ ПЕРЕХОДНАЯ ФУНКЦИЯ

Эта характеристика также используется для описания одноканальных объектов вида (2.5).

Импульсная переходная функция (характеристика) g(t) пред­ставляет собой реакцию на входное воздействие типа единичной импульсной функции при нулевых начальных условиях (рис. 2.5).

Такое входное воздействие математически отражает дельта-функция, которая обладает следующими свойствами:

 
 

 

 


С помощью дельта-функции можно описать реальное входное воздействие типа удара. В действительности импульсные входные воздействия на объект всегда конечны по уровню и продолжитель­ности. Однако если их длительность намного меньше длительно­сти переходных процессов, то с определенной точностью реальный импульс может быть заменен дельта-функцией с некоторым коэф­фициентом.

Импульсная переходная функция позволяет вычислить реакцию системы на произвольное входное воздействие при нулевых на­чальных условиях по выражению

 

 
 

 

 

 
 

 

 


Если система имеет нулевые начальные условия х(0)=0, то выражение (2.14) принимает вид:

 

 


При небольших размерах или простой структуре матрицы объ­екта А выражение (2.18) может быть использовано для точного представления переходной матрицы с помощью элементарных функций. В случае большой размерности матрицы А следует ис­пользовать существующие программы для вычисления матричного экспоненциала.

 

2.6. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ

Наряду с обыкновенными дифференциальными уравнениями в теории автоматического управления используются различные их преобразования. Для линейных систем эти уравнения удобнее представлять в символической форме с применением так называе­мого оператора дифференцирования

р=d/ dt

что позволяет записывать дифференциальные уравнения как алгебраические и вводить новую динамическую характеристику -передаточную функцию. Этот способ был предложен английским ученым Хевисайдом в 1895 г., позднее он был строго обоснован аппаратом интегральных преобразований Лапласа и Карсона [4] в предположении нулевых начальных условий.

Рассмотрим этот переход для многоканальных систем общего вида

 

 

 


 

 

Чаще всего передаточные функции применяются для описания одноканальных систем вида (2.5)

 

 
 

 


С использованием оператора дифференцирования р запишем уравнение (2.28) в символической форме и найдем передаточную функцию как отношение выходной величины к входной:

 

 

 
 


Передаточную матрицу (передаточную функцию) можно также определить с помощью изображений Лапласа или Карсона - Хеви-сайда. Если подвергнуть одному из этих преобразований обе части дифференциального уравнения и найти соотношения между вход­ными и выходными величинами при нулевых начальных условиях, то получим ту же самую передаточную матрицу (2.24) или функ­цию (2.29).

Все динамические характеристики объекта взаимосвязаны: по­лучив одну из них, можно определить все остальные. Мы рассмот­рели переход от дифференциальных уравнений к передаточным функциям с помощью оператора дифференцирования р. Используя этот оператор, несложно перейти от передаточной функции к сим­волической форме записи дифференциального уравнения, а затем к стандартному описанию объекта в форме (2.3) или (2.5).

Обсудим теперь взаимосвязь между переходными характери­стиками и передаточной функцией. С этой целью запишем выражение для выходной переменной объекта через импульсную пере­ходную функцию в соответствии с (2.8)

       
 
 
   

 

 


Определить передаточную функцию двигателя постоянного тока с независимым возбуждением (см. рис. 2.2).

Дифференциальное уравнение двигателя получено в при­мере 2.4 и имеет вид

 
 

 


Будем полагать, что возмущающее воздействие отсутствует, т. е. М = 0. Запишем это уравнение в символической форме с помо­щью оператора дифференцирования р

 
 

 


или, рассматривая его как алгебраическое,

 
 

 

 


Определим теперь передаточную функцию двигателя постоян­ного тока с независимым возбуждением

 
 

 


Как видим, она не содержит нулей и имеет два полюса, которые в зависимости от численных значений параметров Тя и Гм могут быть вещественными или комплексно-сопряженными

 

 

2.7. МОДАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Модальные характеристики соответствуют свободной состав­ляющей движения системы (2.1) или, другими словами, отражают свойства автономной системы (2.10)

 
 

 

 


1 | 2 | 3 | 4 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.012 сек.)