Фазовая плоскость

Пусть заданы уравнения системы второго порядка

Фазовую траекторию в этом случае можно получить путем деления второго уравнения системы (5.2) на первое

и решения полученного дифференциального уравнения 1-го порядка при конкретных начальных условиях.

Если функции f ₁ и f ₂ однозначны, то каждой точке (х ₁, х ₂) соответствует единственное значение производной dx ₂/ dx ₁ (наклона касательной к фазовой траектории), т. е. через эту точку фазовой плоскости проходит только одна фазовая траектория. Единственность нарушается в так называемых особых точках, соответствующих состояниям равновесия системы

Координаты особых точек определяются из уравнений

В особых точках имеется неопределенность производной dx ₂/ dx ₁ = 0/0. Каждая особая точка изображает отдельное (тривиальное) решение системы (5.2) и должна рассматриваться как отдельная фазовая траектория.

В качестве фазовой переменной x ₁ часто выбирается переменная входа нелинейного элемента, а в качестве x ₂ – ее производная. В этом случае система уравнений (5.2) принимает вид:

Тот факт, что х ₂ = dх ₁/ dt, придает фазовой плоскости следующие свойства:

· особые точки располагаются только на оси абсцисс, где
х ₂ = dх ₁/ dt = 0;

· в верхней полуплоскости (х ₂ = dх ₁/ dt > 0) фазовые траектории направлены слева направо, т. е. в сторону увеличения х ₁, а в нижней полуплоскости ― справа налево;

· фазовые траектории ортогональны оси абсцисс, так как при х ₂ = 0 имеем dх ₂/ dх ₁ = ¥.

Поиск по сайту: