АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Описание общего решения

Читайте также:
  1. B. ОБЩЕЕ МЕДИЦИНСКОЕ ОБОРУДОВАНИЕ (игровое описание)
  2. II. Способы решения детьми игровых задач
  3. II. Способы решения детьми игровых задач
  4. III. Описание проекта
  5. III. Право участия общего
  6. IV. ОПИСАНИЕ МАРШРУТА
  7. IV. Описание ценностных ориентиров содержания учебного предмета
  8. VI.1. Описание потребителей
  9. А) Описание области профессиональной деятельности учителя литературы.
  10. А. Акты общего характера
  11. Алгебраическое описание метода
  12. Алгоритм рационального принятия решения.

В каждой строке приведенной СЛАУ есть ведущий элемент. Неизвестные, отвечающие ведущим элементам, назовем связанными, остальные неизвестные — свободными. Например, если дана приведенная расширенная матрица , то связанными неизвестными в соответствующей СЛАУ будут и , а свободными и .

Так как в каждом уравнении приведенной СЛАУ содержится только одно связанное неизвестное, хотя и определяемое неединственным способом, отсутствующее в остальных уравнениях, то придавая свободным неизвестным произвольные значения, мы единственным образом определяем значения связанных неизвестных, а, значит, и решение СЛАУ. Ясно, что при наличии свободных неизвестных СЛАУ будет неопределенной и имеет бесчисленное множество решений.

Описание общего решения дается следующим образом. Пусть, например переменные связанные, а переменные свободные, тогда матрица приведенной СЛАУ (с точностью до отброшенных нулевых строк) имеет вид

    (4)

Здесь, не нарушая общности, мы считаем, что ведущие элементы равны 1. Этого всегда можно добиться с помощью элементарных преобразований 2-го типа. Сама приведенная СЛАУ имеет вид:

    (5)

а формулы, выражающие связанные переменные через свободные, принимают вид

    (6)

Иногда последние формулы называют общим решением исходной СЛАУ.

Однако, строго говоря, общим решением исходной СЛАУ является вектор

    (7)

где — произвольные действительные числа.

Для получения частного решения параметрам в формуле (8) следует придать конкретные числовые значения.

В случае отсутствия свободных переменных все переменных являются связанными, матрица (4) приведенной СЛАУ имеет вид:

,

а сама система (6) имеет вид:

.

Поэтому СЛАУ является определенной, и ее единственное решение имеет вид .

В приводимых ниже примерах необходимо выяснить, совместна ли система, а если да, то найти ее общее решение и несколько частных решений.

Теорема (о структуре общего решения).
Пусть , тогда:

· если , где — число переменных системы, то существует только тривиальное решение;

· если , то существует линейно независимых решений рассматриваемой системы: , причём её общее решение имеет вид: , где — некоторые константы.

Теорема (об общем решении неоднородных систем).
Пусть (т.е. система (2) совместна), тогда:

  • если , где — число переменных системы (2), то решение (2) существует и оно единственно;
  • если , то общее решение системы (2) имеет вид , где — общее решение системы (1), называемое общим однородным решением, — частное решение системы (2), называемое частным неоднородным решением.

ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ дифференциального уравнения - решение, получающееся из общего решения при некотором конкретном выборе произвольных постоянных

 

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)