АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ПРИМЕРА. СОДЕРЖАНИЕ С. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1 «Математическое моделирование экономических процессов с помощью парных регрессионных

Читайте также:
  1. VI. ЭТАП Определения лица (группы лиц) принимающих решение.
  2. А если и может, то Конституционный суд отменит это решение в пять минут.
  3. Альтернативное разрешение споров
  4. В заданиях 10-14 запишите ответ в отведенном для этого поле. Для заданий 11,12,13 запишите полное решение.
  5. В заданиях 10-14 запишите ответ в отведенном для этого поле. Для заданий 11,12,13 запишите полное решение.
  6. Влияние на решение о покупке
  7. Возможное решение
  8. Возможное решение
  9. Возможное решение проблемы ограниченности ресурсов и благ
  10. Геометрическое решение биматричных игр 2x2.
  11. Глава 7. Гениальное решение
  12. Глава II. Решение системы линейных уравнений с использованием компьютерных приложений

СОДЕРЖАНИЕ

    С.
  ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1 «Математическое моделирование экономических процессов с помощью парных регрессионных моделей» ………………………………………………………………….    
  ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2 «Математическое моделирование экономических процессов с помощью моделей множественной регрессии»...……………………………………………………………..    
  ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3 «Анализ и прогнозирование временных рядов» ……………....….……………..……………………..  
  Рекомендуемый список литературы для выполнения практических работ ……………………………………………………………………..  
  Приложение ……………………………………………………………..  

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1

«Математическое моделирование экономических процессов с помощью парных регрессионных моделей»

Данные представлены таблицей значений независимой переменной X и зависимой переменной Y.

Задание

1. Вычислить коэффициент корреляции и сделать вывод о тесноте и направлении связи.

2. На уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о значимости коэффициента корреляции.

3. Составить уравнение парной регрессии Y = b 0 + b 1 X.

4. Нанести данные на чертеж и изобразить прямую регрессии.

5. С помощью коэффициента детерминации R 2 оценить качество построенной модели.

6. Оценить значимость уравнения регрессии с помощью дисперсионного анализа.

7. При уровне значимости a = 0,05 построить доверительные интервалы для оценки параметров регрессии β 1, β 0 и сделать вывод об их значимости.

8. При уровне значимости a = 0,05 получить доверительные интервалы для оценки среднего и индивидуального значений зависимой переменной Y, если значение объясняющей переменной X принять равным x*.

 

  x                    
y                    
x* = 105                  

 

  x                    
y                    
x* = 105                  

 

  x                    
y                    
x* = 98                  

 

  x                    
y                    
x* = 40                  

 

  x                    
y                    
x* = 100                  

 

 

  x                    
y                    
x* = 90                  

 

  x                    
y                    
x* = 90                  

 

  x                    
y                    
x* = 96                  

 

  x                    
y                    
x* = 27                  

 

  x                    
y                    
x* = 100                  

 

РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ПРИМЕРА

 

Пусть имеются следующие данные:

x                    
y                    
x* = 85                  

 

1. Вычисление коэффициента корреляции rxy проведем по формуле:

,

а расчёт параметров b 1 и b 0 выборочного уравнения парной регрессии соответственно по формулам:

, ,

где , , а n – объём выборки.

Для расчётов удобно использовать следующую таблицу:


 

Таблица 1 – Вспомогательная таблица для расчета параметров уравнения парной регрессии

                 
            60,000 4,000 16,000
            34,678 -7,322 53,612
            27,772 9,772 95,492
            76,114 -7,886 62,189
            76,114 20,114 404,573
            87,624 -19,376 375,429
            87,624 -2,376 5,645
            78,416 10,416 108,493
            41,584 10,584 112,021
            30,074 -17,926 321,341
          600,00 0,000 1554,796

 

Замечание. Столбцы 7 – 9 таблицы 1 заполняются после получения выборочного уравнения прямой регрессии и будут необходимы для выполнения последующих пунктов задания.

Используя результаты вычислений, представленные в таблице 1, найдём значение выборочного коэффициента корреляции:

.

Полученное значение коэффициента корреляции свидетельствует о том, что между переменными и имеется высокая корреляционная связь. Данная связь характеризуется как положительная, т. е. с увеличением одной из переменных значения другой переменной также увеличиваются.

 

2. Для оценки значимости коэффициента корреляции следует использовать статистику

,

которая в условиях нулевой гипотезы H0: ρxy = 0 имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы, равным n – 2. В нашем случае получаем следующее расчётное значение статистики:

.

Используя таблицы распределения Стьюдента при заданном уровне надёжности γ = 0,95 (γ = 1 – α) и числе степеней свободы, равном 8, определим критическое значение статистики:

t крит= t (0,95;8) = 2,31.

Поскольку | t расч| > t крит, то нулевую гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции отвергаем с вероятностью ошибки меньше 5% и делаем вывод о значимости коэффициента корреляции.

 

3. Для того чтобы составить выборочное уравнение прямой регрессии, необходимо вычислить коэффициенты b 1 и b 0. Используя результаты расчётов, представленных в таблице 1, находим:

,

b 0 = 60 – 2,302*83 = –131,066.

Таким образом, получаем следующее регрессионное уравнение:

Y = -131,066 + 2,302* X.

 

4. Прямая регрессии представлена на рисунке 1.

Рисунок 1 – График линейной регрессионной модели

 

5. Качество регрессионной модели может быть оценено с помощью коэффициента детерминации R 2, который определяется формулой:

,

где ŷi = b 0 + b 1 xi, – расчётные (прогнозные) значения величины , полученные подстановкой соответствующих значений X в уравнение регрессии. Для вычисления этих значений используются столбцы 7 – 9 таблицы 1. В нашем случае имеем:

.

Коэффициент детерминации показывает, какую часть вариации (дисперсии) зависимой переменной Y воспроизводит (объясняет) построенное уравнение регрессии. В нашем случае построенное уравнение регрессии на 77,3% объясняет зависимость переменной от переменной X.

 

Замечание. Для проверки правильности расчётов можно воспользоваться соотношением .

 

6. Проверка значимости уравнения регрессии заключается в установлении его существенности. Другими словами эта проверка даёт ответ на вопрос о том, насколько можно быть уверенным, что рассматриваемая регрессионная зависимость действительно наличествует в генеральной совокупности, а не является результатом случайного отбора наблюдений.

Проверка значимости регрессионной зависимости производится методом однофакторного дисперсионного анализа, где в качестве фактора выступает построенное уравнение регрессии. Результаты дисперсионного анализа принято представлять в виде стандартной таблицы 2.

Таблица 2 – Результаты дисперсионного анализа

Компоненты вариации Сумма квадратов Число степеней свободы Средние квадраты F -отношение
Регрессия  
Остаточная n – 2
Общая n – 1  

 

В нашем случае при расчёте сумм квадратов следует принять во внимание следующие равенства:

;

RSS = TSSESS.

С учётом результатов, представленных в таблице 1, получим следующие значения:

TSS = 42854 – 10*602 = 6854; ESS = 1554,796;
RSS = 6854 – 1554,796 = 5299,204.

Тогда таблица дисперсионного анализа примет вид таблицы 3.

Таблица 3 – Результаты дисперсионного анализа

Компоненты вариации Сумма квадратов Число степеней свободы Средние квадраты F -отношение
Регрессия 5299,204   5299,204
Остаточная 1554,796   194,350
Общая 6854,000    

 

При отсутствии линейной зависимости между переменными X и Y статистика имеет распределение Фишера с числом степеней свободы v 1 = 1; v 2 = n – 2 = 8.

Принимая стандартный 5% уровень значимости, в таблице критических точек распределения Фишера находим F крит = F (0,05;1;8) = 5,32.

Поскольку F расч = 27,267 превышает F крит = 5,32, то делаем вывод о значимости уравнения регрессии.

 

7. Исправленные выборочные оценки стандартных отклонений (ошибок) МНК-коэффициентов регрессии вычисляются по формулам:

Используя результаты вычислений из предыдущих пунктов, получаем:

;

.

Отсюда:

;

.

Доверительные интервалы для коэффициентов регрессии β 1 и β 0имеют соответственно вид:

[ b 1t крит* S (b 1); b 1 + t крит* S (b 1)]; [ b 0t крит* S (b 0); b 0 + t крит* S (b 0)].

Если окажется, что доверительный интервал включает 0, то соответствующий коэффициент регрессии объявляется незначимым.

При заданном уровне значимости a = 0,05 и числе степеней свободы, равном n – 2, где n – заданный объем выборки (у нас n = 10) критическое значение статистики Стьюдента t крит = 2,31.

Теперь строим доверительные интервалы для β 1 и β 0 соответственно:

[2,302 – 2,31*0,441; 2,302 + 2,31*0,441] = [1,28; 3,32];

[–131,066 – 2,31*36,88; –131,066 + 2,31*36,88] = [–216,26; –45,87].

Поскольку ни один из полученных интервалов не включает нулевое значение, делаем вывод о значимом отличии от нуля коэффициентов β 1 и β 0.

 

8. Интервал для прогноза среднего значения зависимой переменной при значении объясняющей переменной x* (точнее, прогноза ) по линейному уравнению регрессии имеет вид:

,

где tγ находят по таблицам критических точек распределения Стьюдента для заданных значений g и числа степеней свободы v = n – 2 (в случае парной регрессии). Мы уже знаем, что при n = 10 и g = 0,95 (т.е. α = 0,05) tγ = 2,31.

Вычисляем с учетом полученных ранее результатов:

.

Из выборочного уравнения прямой регрессии имеем:

.

Получаем окончательный вид искомого доверительного интервала:

или

[54,21; 75,00].

Для расчета доверительного интервала возможных индивидуальных значений наблюдений при значении объясняющей переменной x* применяется формула:

,

где

.

Окончательно получаем:

=

= .


1 | 2 | 3 | 4 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.022 сек.)