АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Теорема (Критерий Коши)

Читайте также:
  1. Модель IS-LM открытой экономики. Теорема Манделла-Флеминга.
  2. Обобщённая модель регрессии. Обобщённый метод наименьших квадратов. Теорема Айткена
  3. Основная теорема антагонистических игр Джона фон Неймана и седловая точка функции выигрыша.
  4. Основные математические предпосылки эконометрического моделирования. Закон больших чисел, неравенство и теорема Чебышева
  5. Основные предпосылки регрессионного анализа. Теорема Гаусса-Маркова.
  6. Оценивание неизвестных коэффициентов модели регрессии методом наименьших квадратов. Теорема Гаусса – Маркова
  7. Первая теорема Вейерштрасса.
  8. Показатель степени специализации факторов производства, рост их предложения, распределение доходов. Экспортоориенированный и импортозамещающий рост. Теорема Рыбчинского.
  9. Последствия участия страны в международной торговле. Теорема Рыбчинского.
  10. Постановка задачи кодирования. Первая теорема Шеннона
  11. Применения теоремы об изменении импульса: сила реакции истекающей струи, истечение через насадок Борда, теорема Борда для течения во внезапном расширении трубы.
  12. Проверка гипотезы о значимости модели парной регрессии. Теорема о разложении сумм квадратов

Для того, чтобы последовательность { } была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Доказательство.(необходимость). Пусть { }àa. Зафиксируем ε>0= ε/2. è существует N=N(ε): для любого n>N è | - a| < ε/2. Пусть n,m>N è | - |=|( -a)-( -a)| ≤ | -a|+| -a|< ε/2+ ε/2= ε. Теорема доказана.

16. Числовые функции и их графики. Способы задания функции.

Опр. Пусть X⊂ R. Числовой функцией, определенной(заданной) на X называется закон, по которому числу ставиться в соответствие строго одно число y R. Пишут: y=f(x), где x – независимая переменная, а y- зависимая переменная.

Опр. X=D(f)(или D с индексом f) - Область определения функции. Число x R – значение аргумента. Число y, соответствует x ( =F( )) называется значением функции в точке (частное значение функции F) f( )=f(X)|X=.

Опр. Совокупность всех частных значений функции, которая она принимает, если x пробегает все D(f) называется областью(множеством) значения и обозначается E(f)=E(y).

Опр. Графиком функции f(x), где x в прямоугольной декартовой системе координат XOY называется множество всех точек M(x,f(x)), абсциссы которых принадлежат , а ординаты вычисляются по фомуле y=f(x).

Примеры графиков:

Способы задания функции:

1) аналитический - с помощью формулы.

x      
y      

Примеры: y=3-x D(y)=R=x; E(y)=R=y;

2) табличнй y=3-x

 

3) графический

 

Предел функции в точке. Эквивалентность двух определений. Примеры.

Определение по Гейне.

Число А называется пределом функции f(x) при х стремящемся к а

Если:

1) F(x) определен в (а);

2)

Определение по Коши.

Число А …:

1) … (a);

2)

Замечание: для обобщения понятия предела функции полезно опр по Коги сформулировать в терминах окрестностей:

Или )

Теорема.

Опред 1. И 2 пределов функции в точке эквивалентны.

Доказательство:

Считается, что функция определена в дельта 0 окрестность.

В определениях 1 и 2 предела f предполагается, что f определена в некоторой проколотой окрестности точки а. Далее предполагается, что дельта удовлетворяет условию

1) (К=>Г) Пусть число А есть предел функции в точке а по Коши. Это означает, что для , такое, что для всех х удовл. условии. 0<|x-a|<

2) Выполняется неравенство |f(x)-A|<

Докажем, что в этом случае существует предел функции f(x) в т. А по Гейне, который равен А. Для этого рассмотрим произвольную последовательность целиком лежащую в .

Согласно определению сход-ся посл. Существует номер N=N( такое, что , тем самым мы доказали, что число А является пределом в точке а по Гейне.

2)(Г=>К) от противного

Пусть А-предел f(x) в точке а по Гейне и предположим, что А не является пределом f(x) в точке а по Коши. Это означает, что существует такой, что 0<|x-a|< (3)

Но |f(x)-A|> (4)

Рассмотрим послед. Чисел = 1/n, n принадлежит N и соотв. Ей послед. Точек x*x(1/n), n принадлежит N. В силу (3-4) для любого n принадлежащего N выполняются условия:

0<|x-a|<

|f(x)_A|

Полученное противоречие завершает доказательство теоремы. Ч и т.д.

Следствие: Если существует, то он единственный

Док-во: Согласго опр. 1 этот предел равен пределу посл-ти, а предел посл-ти – единственный

Пример 1.

Докажем, что =2-3x


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)