АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в замкнутой ограниченной области

Читайте также:
  1. D) Семипалатинской области
  2. II. Основные задачи и функции Отдела по делам молодежи
  3. III. ФУНКЦИИ ДЕЙСТВУЮЩИХ ЛИЦ
  4. III. Функции семьи
  5. IV. Порядок и формы контроля за исполнением государственной функции
  6. Wait функции
  7. Абсолютные и относительные ссылки. Стандартные формулы и функции. Логические функции
  8. Административно-территориальное устройство Омской области и порядок его изменения
  9. Актива Совета молодых учителей Ленинградской области
  10. Акцентная структура слова в русском языке. Система акцентных противопоставлений. Функции словесного ударения.
  11. Акцентная структура слова в русском языке. Функции словесного ударения.
  12. Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя

 

Постановка задачи. Пусть на плоскости замкнутая ограниченная область задается системой неравенств вида . Требуется найти в области точки, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее значения (глобальный экстремум).

 

Решение данной задачи опирается на следующую теорему.

Теорема. Пусть функция непрерывна в замкнутой ограниченной области , граница которой является кусочно гладкой (состоит из кусков «гладких на ощупь» кривых или прямых). Тогда в области функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений.

 

Порядок нахождения наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой ограниченной области .

1) Строим область ; выделяем все части границы области и находим все «угловые» точки границы.

2) Находим стационарные точки внутри из условия .

3) Найти стационарные точки на каждой границе области .

4) и вычислить значения функции в стационарных точках внутри и на границе области ,

5) Вычисляем значения функции во всех стационарных и угловых точках, а затем выбираем наибольшее и наименьшее значения.

 

Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее значения функции в замкнутой области , заданной системой неравенств , , . Сделать чертеж.

Решение

Найдем критические точки, решая систему уравнений . Отсюда

Построим область . Данная область – треугольник. Стационарная точка лежит внутри области.

 

y

 

()

()

 

0 () 3 x

 

Найдем критические точки на каждой границе области.

А) Из уравнения прямой выразим и подставим в функцию. Получим

.

Критическая точка находится из условия . Отсюда , тогда . Стационарная точка лежит на границе области.

Б) На границе функция принимает вид . Стационарная точка находится из условия . Отсюда и стационарная точка лежит на границе области.

В) На границе функция принимает вид . Стационарная точка находится из условия . Отсюда и стационарная точка лежит на границе области.

Итак, имеем стационарные точки: , , , . Отметим их в области.

Вычислим значения функции в стационарных точках:

;

;

;

.

Выберем среди них наибольшее и наименьшее значения:

; .

2*. Нахождение наибольшего (наименьшего) значений линейной функции в области, заданной линейными ограничениями


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)