АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Формулы Крамера для решения квадратной СЛАУ

Читайте также:
  1. II Съезд Советов, его основные решения. Первые шаги новой государственной власти в России (октябрь 1917 - первая половина 1918 гг.)
  2. II. Приготовление мазка крови для подсчета лейкоцитарной формулы
  3. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА
  4. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
  5. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОВОГО БАЛАНСА
  6. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ДИНАМИКЕ
  7. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО КИНЕМАТИКЕ
  8. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, ПО УСЛОВИЮ КОТОРЫХ ПРОИСХОДИТ ВСТРЕЧА ТЕЛ
  9. Алгоритм решения систем линейных уравнений методом Жордана-Гаусса
  10. Алгоритмизация процесса разработки и принятия управленческого решения
  11. Алгоритмизация решения задач на компьютере
  12. Альтернативные процедуры мирного разрешения споров

 

Решение квадратной СЛАУ в матричной форме Х = А-1×В запишем в виде

Þ Þ

Þ x1= ,

………………………………

xn= ,

где A11b1+A21b2+…+An1bn есть разложение по первому столбцу определителя D1:

D1 = .

Определитель D1 называется первым побочным определителем квадратной СЛАУ, который получается из ее главного определителя D заменой 1-го столбца на столбец свободных членов. Следовательно, х1 = . Аналогично находим, что хn = , где Dn есть n–ый побочный определитель квадратной СЛАУ, который получается из ее главного определителя D заменой n–го столбца на столбец свободных членов. Таким образом, для квадратной СЛАУ значения неизвестных xi находятся по формулам

xi = , (4.5)

где Di есть i–ый побочный определитель квадратной СЛАУ, который получается из ее главного определителя D заменой i–го столбца на столбец свободных членов.

Формулы (4.5) называются формулами Крамера.

Правило Крамера. Если главный определитель квадратной СЛАУ не равен нулю (D¹0), то такая СЛАУ имеет единственное решение в виде (4.5) (т.е. она является совместной и определенной). Если главный определитель квадратной СЛАУ равен нулю (D = 0), то формулы Крамера в виде (4.5) применять нельзя, так как деление на нуль недопустимо. Тогда решение квадратной СЛАУ следует искать в виде

D×xi = Di (4.6)

В этом случае, если хотя бы один из побочных определителей Di ¹ 0 (при D = 0), то такая СЛАУ решений не имеет (то есть она является несовместной), так как при "xi левая часть i–го уравнения (4.6) равна нулю, а правая – нет, то есть равенство (4.6) не выполняется ни при каких значениях хi.

Если же D = D1 = … = Dn = 0, то такая квадратная СЛАУ имеет бесконечное множество решений (то есть является совместной и неопределенной), так как равенства (4.6) выполняются при любых значениях хi.

Пример 1. Решить СЛАУ

Решение. Это квадратная СЛАУ. Ее главный определитель равен

D= -2 = = = 10 ¹ 0 Þ данная СЛАУ имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера (4.5).

-2 1

D1 = = = 1×(-1)5 = = 12-7 = 5 Þ х1 = = 0,5.

3

D2 = = =1×(-1)2× = 5×2× = 10×(4-2) = 20 Þ х2 = = 2.

-2

D3 = = =1×(-1)2×(-5)× = -5×(2-5) = 15 Þ х3 = = 1,5.

Проверка.

0,5+2×2-3×1,5=0 Û 0º0

2×0,5-2+4×1,5=5 Û 5º5

3×0,5+2-1,5=2 Û 2º2

Ответ: х1 = 0,5; х2 = 2; х3 = 1,5.

Пример 2. Решить квадратную СЛАУ

-2 -1

Решение: D = = = 1×(-1)4× = 0.

 

-4 -1

D1 = = = 1×(-1)4× = 0.

 
 


D2 = -2 = = 1×(-1)2 = 0.

 

D3 = -2 = =1×(-1)2× = 0.

Так как D = D1 = D2 = D3 = 0, то данная СЛАУ является совместной и неопределенной. Это значит, что в СЛАУ из 3-х уравнений с 3-мя неизвестными, по меньшей мере, одно уравнение представляет собой линейную комбинацию двух других, и, следовательно, эта СЛАУ эквивалентна СЛАУ из 2-х уравнений с 3-мя неизвестными. Поэтому она является неопределенной. Для любой неопределенной СЛАУ, когда число неизвестных превышает ранг основной матрицы (n>r(A)), часть неизвестных называют базисными (главными), а остальные – свободными. Базисными неизвестными называются те, коэффициенты при которых образуют базисный минор. Поскольку базисных миноров может быть несколько, то и вариантов выбора базисных неизвестных также может быть несколько.

В данном примере за базисные неизвестные можно взять любую пару из неизвестных х1, х2, х3, коэффициенты при которых образуют базисный минор. Пусть, например, это будет пара из х1 и х2, так как коэффициенты при них образуют базисный минор в двух первых уравнениях СЛАУ: D/= = -3. В данном случае он будет главным определителем новой СЛАУ. Поскольку в определитель D/ вошли только коэффициенты первых двух уравнений, то в новую СЛАУ 3-е уравнение входить не будет, так как оно является линейной комбинацией первых двух уравнений.

Оставшаяся неизвестная х3 будет свободной. Зафиксируем ее и чтобы отличить от базисных неизвестных переобозначим: пусть х3 = с3. Теперь в обоих уравнениях новой СЛАУ перенесем с3 в правую часть к свободным членам:

Решим новую СЛАУ по формулам Крамера (4.5).

Главный определитель D/ = -3; первый побочный определитель =1+3с3 -2(4-с3)=5с3 -7 Þ х1 = ;

второй побочный определитель = 4-с3-2(1+3с3)=2-7с3 Þ

Þ х2 = . Ответ: х1 = ; х2 = ; х3 = с3, где с3 = const.

Общее решение неопределенной СЛАУ – это множество всех ее частных решений.

Частное решение СЛАУ, получаемое из его общего решения при нулевых значениях свободных неизвестных, называется базисным решением этой СЛАУ. Так, в последнем примере базисным решением СЛАУ будет: х1 = 7/3, х2 = -2/3, х3 = 0.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.006 сек.)