АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Градієнт, його властивості

Читайте также:
  1. А) Властивості бінарних відношень
  2. Атрибутивні ознаки і властивості культури
  3. Б) Основні властивості операцій над множинами
  4. БУДОВА Й ЕЛЕКТРИЧНІ ВЛАСТИВОСТІ НАПІВПРОВІДНИКІВ
  5. Властивості дисперсії
  6. Властивості диференціальної функції
  7. Властивості емпіричної функції
  8. Властивості емпіричної функції розподілу
  9. Властивості інтегральної функції
  10. Властивості ймовірностей подій
  11. Властивості ймовірності
  12. Властивості лінії графіків

Припустимо, що в якійсь точці М одночасно не дорівнюють нулю. В якому напрямку похідна має найбільше значення? Відповідь на це запитання має важливе практичне значення.

Означення 3.4. Вектор, координатами якого є значення частинних похідних функції в точці , називається градієнтом функції в цій точці і позначається або чи . Отже,

(3.15)

Наступна теорема встановлює зв¢язок між похідною функції в даній точці за довільним напрямком та градієнтом функції в цій точці.

Теорема 3.2. Похідна функції в точці за напрямком вектора дорівнює проекції градієнта функції в цій точці на вектор , тобто

. (3.16)

Д о в е д е н н я. Так як , то, згідно властивості проекції та формули для обчислення скалярного добутку векторів через їхні координати, матимемо:

Враховуючи (3.12), отримуємо (3.16), чим і доводимо нашу теорему.

Розглянемо деякі властивості градієнта.

10. Градієнт функції в даній точці вказує напрямок, по якому похідна в цій точці має найбільше значення, яке дорівнює

. (3.17)

Дійсно, з рівності (3.16) на основі означення проекції маємо

, (3.18)

де - кут між напрямком вектора та градієнтом функції в даній точці. З (3.18) видно, що у випадку рівність виконуватиметься тоді і тільки тоді, коли , тобто коли вектор співнапрямлений з градієнтом.

Таким чином, скалярне поле в довільній точці зростає найшвидше в напрямку градієнта. Відповідно до (3.13) в напрямку, протилежному до градієнта, воно найшвидше зменшуватиметься.

20. Швидкість зміни скалярного поля в даній точці в напрямку, перпендикулярному градієнту в цій точці, дорівнює нулю.

Справді, якщо , то з рівності (3.16) отримуємо .

30. Градієнт в кожній точці поля перпендикулярний до поверхні рівня, яка проходить через цю точку.

Ця властивість випливає безпосередньо з зауваження 3.2.

40. Нехай - скалярні поля, задані в деякій області. Мають місце наступні рівності:

;

;

;

;

.

Доведення цих рівностей випливає з означення градієнта та правил диференціювання. Доведемо, наприклад, четверту рівність:

Приклад 3.5. Знайти найбільшу швидкість зростання поля в точці .

Р о з в′ я з а н н я

Знайдемо градієнт поля в заданій точці. Відповідно до (3.15) маємо:

.

Отже, .

Тоді за формулою (3.17) знаходимо

.


Лекція 4 Частинні похідні та диференціали


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)