АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Дифференцируемость оператора Немыцкого

Читайте также:
  1. Б1 2. Линейный оператор в конечномероном пространстве, его матрица. Характеристический многочлен линейного оператора. Собственные числа и собств векторы.
  2. Билет 11. Договор между инициативным и рецептивным туроператорами.
  3. Билет 13 Угол между 2 мя прямыми , условия параллельности и перпендикулярности. Преобразование линейного оператора при переходе к новому базису
  4. Билет 13. Линейные операторы. Матрица линейного оператора.
  5. Билет 27. Жорданов базис и жорданова матрица линейного оператора в комплексном пространстве.
  6. Билет 32. Сопряженный оператор. Существование и единственность. Матрица сопряженного оператора.
  7. Билет 35. Эрмитовы операторы и эрмитовы матрицы. Эрмитого разложение линейного оператора.
  8. Билет 40. Сингулярные числа и сингулярные векторы. Полярное разложение оператора (матрицы).
  9. Билет10 Различные уравнения плоскости, угол между плоскостями. Вид матрицы линейного оператора в базисе из собственных векторов.
  10. Вопрос: Дифференцируемость функции. Дифференциал. Дифференцирование суммы, произведения и частного.
  11. Действие оператора на координаты вектора.
  12. Действия над линейными операторами

Пусть L(t,x) - некоторая гладкая функция от вещественных переменных t и x (переменная x может быть и векторной), R[a; b] - множество функций, интегрируемых по Риману (c равномерной нормой).

Определение. Оператором Немыцкого (порожденным функцией L) назовем оператор

N: R[a; b] → R[a; b], который функции x(t) ставит в соответствие функцию L(t, x(t)).

Заметим, что пространство непрерывных функций С[a; b] является подпространством в R[a; b], а сужение оператора Немыцкого на С[a; b] принимает значения в С[a; b].

Оператор Немыцкого играет важную роль во многих задачах, поэтому мы изучим вопрос о его дифференцируемости.

Теорема 5.4.1. (о дифференцируемости оператора Немыцкого). Если функция L и ее частная производная Lx непрерывны, то соотвествующий оператор Немыцкого является непрерывно дифференцируемым в каждой точке x*, причем дифференциалом является оператор умножения на функцию Lx (t, x*(t)):

(DN(x*)h)(t) = Lx (t, x*(t))h(t). (5.4.1)

Доказательство. Покажем, что оператор N дифференцируем по Гато, т.е.

||(N(x+th) - N(x)) / t - DN(x)h || = max s∈[a; b] (L(s, x(s)+th(s)) - L(s, x(s))) / t - Lx (s, x(s))h(s)) → 0 при t→0.

По формуле о конечном приращении найдутся d(s)∈[0; 1], такие что

(L(s, x(s)+th(s)) - L(s, x(s))) / t - Lx (s, x(s))h(s)) = [(Lx(s, x(s)+td(s)h(s)) - Lx (s, x(s)) ]h(s).

Поскольку множество K= {(s, x(s)) | s∈[a, b]} ограничено и содержится в конечномерном пространстве, следовательно, оно предкомпактно. Функция Lx(s, x) непрерывна, и значит, равномерно непрерывна на компактах. Это означает, что sups∈[a; b] [(Lx(s, x(s)+td(s)h(s)) - Lx (s, x(s)) ] → 0 при t→0.

В силу следствия 3 из теоремы о конечном приращении осталось показать, что при x → x* выполняется условие || DN(x) - DN(x*) || → 0.

Как известно из функционального анализа, норма оператора умножения на функцию равна супремуму модуля этой функции: || DN(x) - DN(x*) || = sups∈[a; b] |(Lx(s, x(s)) - Lx (s, x*(s))|. Необходимое утверждение следует из равномерной непрерывности функции Lx (s, x) на компакте K, который равен замыканию множества {(s, x*(s)) | s∈[a, b]}.

Теорема доказана.

Рассмотренная нами конструкция оператора Немыцкого может быть использована для построения более сложных операторов (которые таже часто называют операторами Немыцкого).

Следствие 1. Пусть ACR[a; b] - множество абсолютно непрерывных функций, чья производная интегрируема по Риману, C1[a; b] - множество непрерывно дифференцируемых функций. Если функция L(t, x, x') и ее производные по переменным x и x' непрерывны, то оператор оператор NR: ACR[a; b] → R[a; b], который функции x(t) ставит в соответствие функцию L(t, x(t), x'(t)) является непрерывно дифференцируемым, причем для всех h∈ACR[a; b] справедливо равенство

(DNR(x*)h)(t) = Lx (t, x*(t),x* '(t)) h(t)+Lx ' (t, x*(t), x* '(t)) h'(t). (5.4.2)

Доказательство. Рассмотрим линейный ограниченный оператор

A: ACR[a; b] → R[a; b]: x(t) → y(t) = (x(t), x'(t)),

который функции x ставит в соответствие вектор из самой функции и ее производной. Тогда оператор NR можно представить как композицию оператора Немыцкого N(y) = L(t, y1(t), y2(t)) и оператора A. Для дифференцируемости оператора NR достаточно доказать дифференцируемость каждого компонента и воспользоваться теоремой о дифференцировании композиции:

DN(y)h = Ly1(t, y1(t), y2(t))h1(t)+Ly2(t, y1(t), y2(t))h2(t) = Lx(t, y1(t), y2(t))h1(t)+Lx '(t, y1(t), y2(t))h2(t);

DA(x)h = Ah = (h(t), h'(t));

DNR(x*)h = DN[A(x)]DA(x)h = Lx (t, x(t),x '(t)) h(t)+Lx ' (t, x(t), x '(t)) h'(t).

Следствие доказано.

Замечание. Сужение N1 оператора NR на пространство C1[a; b] также непрерывно дифференцируемо, его дифференциал вычисляется по той же формуле для h∈C1[a; b].

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)