АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Задачи на собственные значения

Читайте также:
  1. I Психологические принципы, задачи и функции социальной работы
  2. I. 1.1. Пример разработки модели задачи технического контроля
  3. I. 1.2. Общая постановка задачи линейного программирования
  4. I. 2.1. Графический метод решения задачи ЛП
  5. I. ГИМНАСТИКА, ЕЕ ЗАДАЧИ И МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ
  6. I. ЗАДАЧИ ПЕДАГОГИЧЕСКОЙ ПРАКТИКИ
  7. I. Значение и задачи учета. Основные документы от реализации продукции, работ, услуг.
  8. I. Ситуационные задачи и тестовые задания.
  9. I. Цель и задачи дисциплины
  10. I.5.3. Подготовка данных для задачи линейного программирования
  11. I.5.4. Решение задачи линейного программирования
  12. I.5.5. Просмотр и анализ результатов решения задачи

Основные определения и свойства

1.

Определение. Собственным значением или числом квадратной матрицы А называется такое число λ, что для некоторого ненулевого вектора х ≠ 0 выполняется равенство

Ах = λх. (1)

Определение: любой вектор х ≠ 0 соответствующий некоторому собственному значению и удовлетворяющий (1) называется собственным вектором.

По соответствующей теореме линейной алгебры система линейных однородных уравнений

(А – λ Е) = 0

имеет нетривиальное решение, тогда и только тогда, когда определитель

│А – λ Е│ = 0

Раскроим определитель, получим характеристический многочлен (полином)

Корни характеристического многочлена P(λ) есть собственные значения λ, их количество равно n, коэффициенты характеристического полинома есть

а остальные коэффициенты - рк суть взятые со знаком (-1)k суммы всех миноров определителя матрицы А порядка k, опирающихся на главную диагональ.

С другой стороны, согласно обшей теореме Виета, имеем

 

Непосредственное вычисление коэффициентов рi является громоздкой задачей, требует большого числа операций при вычислении многочисленных миноров, поэтому существуют специальные вычислительные приемы, упрощающие численное решение поставленных задач.

Собственные значения вычисляются затем по какому-либо методу для приближенного вычисления корней полинома. Одним из универсальных является метод Ньютона. Последовательность приближений к начальному значению корня λ0 вычисляется по формуле:

, i=1,2,…,

Согласно определению вектор отвечающий некоторому собственному значению и удовлетворяющий уравнению называется собственным. Имеем в развернутом виде:

 

 

На практике при нахождении собственного вектора полагают одну из компонент вектора равной единицы.

 

Пример:

 

Для

 

=> , - собственный вектор.

Для λ2=5

 

=> - собственный вектор.

 

Таким образом, вычисление коэффициентов рi и корней λ (собственные значения) характеристического уравнения и соответствующих им собственных векторов составляют полную проблему собственных значений. Методы решения этой группы, как правило, точные.

Частичная проблема собственных значений – это нахождение одного или нескольких собственных значений. Методы решения этой группы, как правило, итерационные методы.

 

2.

Если А = Ат (симметричная матрица), то:

- собственные значения матрицы действительны;

- соответствующие им собственные вектора ортогональны

.

3.

Сопровождающая матрица (Фробениуса) имеет следующий вид:

Характеристическое уравнение матрицы С совпадает с характеристическим уравнение матрицы А (исходной).

4.

Преобразование подобия.

Матрицы А и В называются подобными, если существует такая матрица С и ей обратная С-1, что А = С-1ВС.

А и В имеют одинаковые характеристические полиномы:

.

Относительно собственных векторов имеем

, ,

,

Cx – собственные векторы матрицы В.

5.

Каждая симметричная матрица подобна диагональной D = C-1SC.

6.

Каждая матрица с действительными собственными значениями подобна треугольной.

7.

Собственные числа диагональной матрицы равны их диагональным элементам

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.007 сек.)