АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Уравнения в полных дифференциалах. Уравнение , в котором левая часть является полным дифференциалом функции U(x,y), т.е

Читайте также:
  1. I I. Тригонометрические уравнения.
  2. V2: ДЕ 54 - Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
  3. V2: ДЕ 57 - Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения
  4. V2: Применения уравнения Шредингера
  5. V2: Уравнения Максвелла
  6. VI Дифференциальные уравнения
  7. Алгебраические уравнения
  8. Алгебраические уравнения
  9. Алгоритм составления уравнения химической реакции
  10. АНАЛИЗ УРАВНЕНИЯ (13)
  11. Аналитическое решение данного дифференциального уравнения
  12. Аналитическое решение данного дифференциального уравнения

 

Уравнение , в котором левая часть является полным дифференциалом функции U(x,y), т.е.

(7)

(8)

называется уравнением в полных дифференциалах.

Это имеет место в том и только в том случае, когда выполняется равенство:

.

Тогда .

Интегрируем уравнение (7) по x:

(9).

Уравнение (9) продифференцируем по y:

(10).

Сравнивая (10) и(8):

.

Отсюда

.

Подставляя найденную функцию в (9) найдем U(x,y).

Задача №7. найти общий интеграл дифференциального уравнения.

.

Решение. Сгруппируем слагаемые содержащие dx и dy

.

Докажем, что это уравнение в полных дифференциалах.

Пусть , а . Т.е., необходимо показать, что .

и .

Теперь наша задача заключается в том, чтобы найти функцию U(x,y)=c, такую чтобы ее полный дифференциал был таким же, как левая часть нашего дифференциального уравнения.

Пусть (1), а (2).

Проинтегрируем уравнение (1) по переменной x, а вместо произвольной постоянной прибавим функцию, зависящую от y, т.е. (это необходимо, т.к. функция U зависит от двух переменных, а интегрируем мы только по одной).

(3).

Продифференцируем уравнение (3) по переменной y, получим

(4).

Сравнивая уравнения (2) и (4),получим

,

.

Подставим найденную функцию φ(y) в уравнение (3):

.

Т.к., решение уравнения мы искали в виде U(x,y)=c,то ,

что и будет являться ответом.

Замечание. Уравнения в полных дифференциалах можно решать и другим способом. Заключается он в следующем. Ищут интегралы от M(x,y) и от N(x,y) по dx и dy соответственно. Затем ко всем известным членам из первого результата дописывают недостающие члены из второго, получают функцию U(x,y).


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)