АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Уравнение в полных дифференциалах

Читайте также:
  1. E) Для фиксированного предложения денег количественное уравнение отражает прямую взаимосвязь между уровнем цен Р и выпуском продукции Y.
  2. IV. УРАВНЕНИЕ ГАМЛЕТА
  3. V2: Волны. Уравнение волны
  4. V2: Уравнение Шредингера
  5. Адиабатический процесс. Уравнение адиабаты (Пуассона). Коэффициент Пуассона.
  6. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОВОГО БАЛАНСА
  7. В декартовых координатах каждая прямая определяется уравнением первой степени с двумя переменными и обратно: каждое уравнение первой степени
  8. В простом случае обычное дифференциальное уравнение имеет вид
  9. В этом случае уравнение Эйлера принимает вид
  10. Влияние температуры на константу равновесия. Уравнение изобары
  11. Внутреннее трение (вязкость) жидкости. Уравнение Ньютона
  12. Волна вероятности. Уравнение Шредингера

Уравнение вида

,

где левая часть представляет собой полный дифференциал некоторой функции F(x;y) в некоторой области G, называется уравнением в полных дифференциалах.

 

Если уравнение

является уравнением в полных дифференциалах, то его можно записать в следующем виде

,

где F(x,y) – такая функция, что

.

 

Отсюда следует, что общее решение уравнения (8) имеет вид F(x,y) = C.

Решение сводится к отысканию функции F(x,y).

 

Пример 8.

Найти общее решение уравнения

.

Решение.

Здесь

.

Так как

,

то выражение

является полным дифференциалом некоторой функции F(x,y). При этом и - непрерывные функции.

Тогда

.

Интегрируя левую и правую части по х, получим

(1).

 

Чтобы найти C(y), используем (1) и то, что

.

Имеем

;

 

.

 

Подставляя полученное C(y) в (1), получаем

 

.

 

Данное уравнение принимает вид dF(x,y) = 0, а его общее решение определяется уравнением

или .

Полагая

 

, где C3 – произвольная постоянная,

 

получаем окончательное уравнение, определяющее общее решение исходного дифференциального уравнения

 

.

 

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)