АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Линейный оператор. Матрица линейного оператора

Читайте также:
  1. Nikon D7100 - матрица APS-C в идеальном оформлении
  2. SWOT- матрица
  3. V2: ДЕ 4 – Линейные отображения. Линейные операции над матрицами
  4. V2: ДЕ 57 - Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения
  5. Аксиомы линейного пространства
  6. Анализ матричных данных (матрица приоритетов)
  7. Б) Непосредственный руководитель (линейный менеджер).
  8. Б1 2. Линейный оператор в конечномероном пространстве, его матрица. Характеристический многочлен линейного оператора. Собственные числа и собств векторы.
  9. Билет 11. Договор между инициативным и рецептивным туроператорами.
  10. Билет 11. Различные уравнения прямой в пространстве. Матрица перехода к новому базису.
  11. Билет 13 Угол между 2 мя прямыми , условия параллельности и перпендикулярности. Преобразование линейного оператора при переходе к новому базису
  12. Билет 13. Линейные операторы. Матрица линейного оператора.

Пусть дано отображение j: V®V, где Vn -мерное векторное пространство над полем Р.

Образ вектора х при отображении j договоримся записывать не в привычном виде j(х), а в виде j х, так как это общеизвестный«операторный » способ обозначения. Можно напомнить и то, что при работе с конкретными функциями и в школе, и в вузе аргумент не выделяют скобками: пишут logx, а не log(x), tgx, а не tg(x) и т. п.

Определение 1. Линейным оператором называется отображение j: V®V, такое, что для любых векторов x и y из V и любого числа a из Р выполняются условия линейности, то есть

j(x+y) = j x + j y, (1)

j(a x) = aj x (2)

Наряду с названием линейный оператор употребляются следующие названия: векторная линейная функция, линейное преобразование, автоморфизм, аффинор, линейный функционал. В последние годы термин линейный оператор становится более употребительным.

Заметим, что условия (1) и (2) в определении 1 можно заменить одним условием j(a х + b у) = aj х + bj у, где a, b - любые числа из поля Р.

Отметим простейшие следствия из определения.

10. j 0 = 0, что следует из (2) при a=0.

20. j(- х) = -j х. Это свойство также вытекает из (2) при a = -1.

30. Образ линейной комбинации есть линейная комбинация образов, то есть для любых векторов x 1,…, x p и любых чисел a1,…,a p справедливо равенство

j(a1 x 1 +…+ a p x p) = a1j x 1 + …+ a p j x p.

Теорема. Существует единственный линейный оператор j: V®V, который данный базис e 1,…, e n отображает в данную упорядоченную систему векторов c 1,…, c n.

Доказательство. Пусть дан базис и любая упорядоченная система векторов. Зададим отображение j следующим образом: каждому вектору x = x 1 e 1+…+ xn e n поставим в соответствие вектор j х = = x 1 c 1+…+ xn c n. Очевидно, с учетом теоремы 2 § 3 главы 1, построенное отображение j удовлетворяет условиям линейности, причем j e i = c i, i= 1,…, n. Для доказательства единственности предположим, что наряду с линейным оператором j существует ещё один линейный оператор y, такой, что y e i = c i, i= 1,…, n. Тогда х Î V будем иметь j x = j(x 1 e 1+…+ xn e n) = x 1j e 1+…+ xn j e n = x 1 c 1+…+ xn c n = = x 1y e 1 +…+ xn y e n = y(x 1 e 1 +…+ xn e n) = y x. Так как j х = y х при всех векторах х из V, то j = y.

Доказанная теорема позволяет при данном базисе задавать линейный оператор системой из n векторов, являющихся образами базисных векторов. Положим

j e 1 = a 11 e 1+…+a1 n e n,

……………………. (3)

j e n = an 1 e 1+…+ ann e n.

Определение 2. Пусть дан линейный оператор j и некоторый базис e 1,…, e n. Матрица

Аj = , (4)

каждый i -й (i=1,…,n) столбец которой составлен из координат образа i- го базисного вектора в этом же базисе, называется матрицей линейного оператора в этом базисе.

Из теоремы и определения 2 следует, что задание матрицы Аj в данном базисе определяет линейный оператор j единственным образом.

Перепишем равенства (3) в матричном виде, положив e= (e 1,…, e n), j e = (j e 1,…,j e n):

j e = e Aj. (5)

Покажем, как, зная матрицу Аj линейного оператора j в базисе e 1,…., e n, по координатам вектора х в этом базисе найти координаты его образа.

Пусть

y = j x. (6)

Если векторы х и y разложить по базису, то можно переписать (6) в матричном виде:

e [ y ] = j(e [ x ]), (7)

где [ y ] - матрица-столбец из координат y 1,…, yn вектора у, а [ x ] матрица-столбец из координат x 1,…, xn вектора х в базисе е. Так как

e [ x ] = x 1 e 1+…+ xn e n,

то j(е [ x ]) = j(x 1 e 1+…+ xn e n) = x 1j e 1+…+ xn j e n = j e [ x ], то (7) можно переписать в виде e [ y ] = j e [ x ]. Учитывая здесь (5), получим

e [ у ] = e Aj [ x ]. (8)

Учитывая единственность разложения векторов по базису, из (8) получаем

[ y ] = Aj [ x ]. (9)

В подробной записи (9) имеет вид

y 1 = a 11 x 1+…+ an 1 xn,

................................. (10)

yn = a 1 n x 1+…+ annxn.

Пример. Пусть в некотором базисе пространства R3 заданы системы векторов:

a1 = (0, 0, 1), b1 = (2, 3, 5),

a2 = (0, 1, 1), b2 = (1, 0, 0),

a3 = (1, 1, 1); b3 = (0, 1, -1).

Найти в базисе a1, a2, a3 матрицу линейного оператора f, переводящего векторы a1, a2, a3 соответственно в векторы b1, b2, b3.

Решение. Векторы a1, a2, a3 составляют базис пространства. Значит, искомый оператор f существует и единственный. Для отыскания матрицы А оператора f в базисе a1, a2, a3 нужно найти линейные выражения векторов-образов b1, b2, b3 через векторы базиса a1, a2, a3. Производя необходимые вычисления, находим

f a1 = b1 = 2 a1 + a2 + 2 a3,

f a2 = b2 = - a2 + a3,

f a3 = b3 = -2 a1 + a2.

Матрица линейного преобразования имеет вид:

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.01 сек.)