АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Види матриць. Лінійні дії над матрицями та їх властивості. Транспонування матриць. Добуток матриць

Читайте также:
  1. Бюджетні обмеження. Вплив зміни доходу або ціни товару на бюджетні обмежені обмеження. Нелінійні бюджетні обмеження.
  2. В) Прямий (декартів) добуток множин
  3. Векторний добуток векторів і його основні властивості
  4. Векторний добуток двох
  5. Визначник добутку матриць
  6. До завдання № 3. (добуток матриць)
  7. Зварювальна дуга і її властивості.
  8. Знайти ранг матриць
  9. Коефіцієнт регресії та його властивості.
  10. Координати вектора. Визначення вектора за його координатами. Лінійні операції над векторами у координатній формі
  11. Криві байдужості та їх властивості.

 

Розглянемо довільну матрицю розміру

 

 

Матрицю, у якої кількість рядків і стовпчиків різна , називають прямокутною.

Якщо матриця складається з одного рядка (стовпчика) вона називається матрицею-рядком (стовпцем):

- матриця-рядок, - матриця-стовпець.

Коли у матриці кількість рядків і стовпців збігається і дорівнює , то вона називається квадратною матрицею порядку:

 

– квадратна матриця.

Елементи квадратної матриці називаються діагональними і кажуть, що вони утворюють головну діагональ матриці. Інколи розглядають і допоміжну діагональ квадратної матриці на якій містяться елементи .

Квадратна матриця називається симетричною у випадку коли Зміст останньої умови полягає у тому, що елементи, розміщені симетрично відносно головної діагоналі, співпадають.

Квадратна матриця у якій всі елементи, окрім тих що знаходяться на головній діагоналі, дорівнюють називається діагональною:

 

 

Квадратна матриця у якої елементи на головній діагоналі дорівнюють а всі інші елементи є нулі, називається одиничною матрицею порядку:

 

 

Матриця кожний елемент якої дорівнює називається нуль-матрицею, або нульовою матрицею.

 

Для матриць одного розміру можна ввести поняття рівності і додавання.

Дві матриці одного розміру називаються рівними якщо в них співпадають однаково розміщенні елементи:

 

 

Сумою двох вище вказаних матриць називається третя матриця яка складається з елементів

 

 

Добутком матриці на число називається матриця, яка позначається і складається з елементів

 

 

Операції додавання і множення на число називаються лінійними операціями над матрицями.

Лінійні операції над матрицями мають наступні властивості:

1. (комутативність);

2. - нуль-матриця однакового з розміру;

3. (асоціативність);

4. (асоціативність множення на число відносно суми матриць);

5. (асоціативність відносно суми чисел);

6. (асоціативність відносно множення чисел).

Ще однією важливою операцією над матрицями є операція транспонування.

Транспонованою матрицею називається матриця

 

 

Операція транспонування, очевидно, полягає у тому, що стовпці матриці послідовно, починаючи з першого, записують у рядки.

Над матрицями можна ввести операцію множення. Але перемножувати можна тільки узгоджені матриці.

Дві матриці і називаються узгодженими, якщо число стовпців першої матриці дорівнює числу рядків другої.

Розглянемо матриці:

 

 

Матриця матриця

Ці дві матриці є узгодженими. Зауважимо, що матриці і у загальному вигляді не є узгодженими. Число стовпців у матриці дорівнює а число рядків у матриці дорівнює Зрозуміло, що дві квадратні матриці одного порядку завжди узгоджені.

Добуток двох узгоджених матриць визначається за наступним правилом.

Добутком матриці розміру на матрицю розміру називається третя матриця розміру , кожний елемент якої дорівнює сумі добутків елементів рядка матриці на відповідні елементи стовпчика матриці

 

 

Умовно формулу можна записати ще в наступному вигляді:

 

 

Розглянемо приклад множення матриць

,

 

Операція добутку матриць має наступні властивості:

1. Якщо - нуль-матриця узгоджена з то

Для квадратних матриць:

2. Якщо - одинична матриця узгоджена з то

Для квадратних матриць:

3. Операція множення матриць не є комутативною. Якщо існують обидва добутки і то рівність не завжди є вірною.

4. Асоціативність відносно множення на число:

5. Асоціативність:

6. Дистрибутивність:

7. (для квадратних матриць однієї розмірності)

 

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.008 сек.)